离散数学——通路与回路&无向图的连通性

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一、通路与回路

1.定义：G为无向标定图, 顶点和边的交替序列 称为通路

（其中：始点: vi0 ；终点: vil ；长度: Γ 中的边数）

（1）回路: 当起点=终点时, 称Γ为回路

（2）简单通路：若Γ中所有的边互异.

（3）简单回路:若Γ中所有的边互异且起点=终点

（4）初级通路(路径):若Γ中所有边互异, 所有的顶点互异.

（5）初级回路(圈): 起点=终点的初级通路（长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈为偶圈.

（6）复杂通路: Γ中有边重复. 若vi0=vil, 称Γ为复杂回路.

二、周长与围长

1.定义：含圈的G中, 最长圈的长度为周长, 记作c(G),；最短圈的长度为围长，记为 g(G).

2.举例

3.定理

（1）如果从顶点vi 到顶点vj (vi ≠ vj)存在通路, 则从vi 到vj 存在长度小于等于n-1的通路.

~~~推论 ：若从顶点vi 到 vj(vi≠vj)存在通路,则从vi到vj 存在长度小于等于n-1的路径.

（2）若存在vi 到自身的回路  ==>  存在长度小于等于n的回路.

~~~推论：若存在vi 到自身的简单回路  ==>  存在vi 到自身的长度小于等于n的初级回路(圈).

~~注 ：若G 为无向图,且vi 到自身存在回路,则不一定存在vi到自身的长度小于等于n的圈. （换言之：必须是简单回路才成立）

三.扩大路径法

1.定义：（具体的定义我就不说了，我直接通俗易懂的解释了）

目前我已经有一条通路，我对某一个端点向外延伸，找到新的点，并把它加入路径中，不断持续直到——通路的两个端点不与通路外的任何顶点相邻，得到的路径是极大路径。

2.举例

3.说明

（1）由某条路径扩大出的极大路径不唯一（举例如上）

（2）极大路径不一定是图中最长的路径（举例如上）

四.无向图的连通性

1.定义

（1）结点u和v之间存在通路，则u与v连通

（2）连通关系是V上的等价关系  

（3）连通分支: V关于R的等价类的导出子图

（4）连通分支数p(G)

（5）G是连通<==>p(G)=1；平凡图是连通的. ；非连通图或分离图: p(G)大于等于2

2.短线程和距离

（1）程: u 连通v, min{Γi| Γi 是u,v之间的通路,i=1,2,…,r,}（r是u,v之间通路的数量）

（2）距离d(u,v): u,v之间短线程的长度. （规定：u,v不连通时,d(u,v)=无穷）

性质: ~~d(u,v)大于等于0   

             ~~满足三角不等式:

             ~~具有对称性:d(u,v)=d(v,u)

举例:

（3）直径d(G):  max（d(u,v)）

3.定理：若G是连通图,则G的边数m>=n-1.

五.二部图的充要条件

<==>一个无向图G＝<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈.