什么是齐次，线性。什么是齐次微分方程，齐次线性微分方程

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  齐次本质上是说对变量放大a倍的效果变成了放大其函数值$a^k$倍，$f(a{x}_1,a{x}_2)=a^{k}f(x_1,x_2)$称为k次齐次。
  实际应用中往往是多项式里面的东西，此时齐次的意思就是字面上的“次数相等”。
  那么，又为什么有齐次方程呢，实际上，方程可以看做是函数取特定值时候的情形，$y=f(x_1,x_2)$是齐次函数，当y取0时，也就是$f(x_1,x_2)=0$，被称为齐次方程。
  常微分方程中，有两个齐次，齐次微分方程和线性齐次微分方程。实际上，准确地说，应该说是变量齐次方程和导数齐次方程。
  齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$，是因为右边的$\phi (\frac{y}{x})$，关于变量x,y是齐次的，也就是说。$\phi (\frac{y}{x})$中x,y都看做是1次，$\frac{y}{x}$看做次数为0.
  线性齐次微分方程是因为关于y的各阶导数（注意前面是关于变量x、y，这里是关于y的各阶导数）都是齐次的（由于是线性的，都是一次的）

  顺带说一下，线性是啥，线性一般指线性映射，是指“可加性”和“可乘性”。
  在多项式中，线性表现为次数为1，按定义应该不允许且有自由项（在代数方程中不含自变量，在微分方程中不含未知函数），但实际上带自由项也被称为线性的，比如y=ax+b不符合线性映射的定义，本质上不是线性映射。可能是考虑到带自由项往往做坐标变换就可以消去，所以带自由项也无妨。
  所以线性齐次微分方程关于y及其各阶导数都是一次的。