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一传输线种类、模型、参数

传输线上电磁波波速 $v=c=3*10^{8}$ m/s , 特定频率的波长 $\lambda = vT=v/f$

二. 传输线模型及公式（RLGC）

$dV = I(R_{1} +j\omega L_{1})dz = IZ_{1}dz$ $Z_{1} = R_{1} + j\omega L_{1}$ 单位长度分布电阻

$dI = V(G_{1} + j\omega C_{1})dz = VY_{1}dz$ $Y_{1} = G_{1} + j\omega C_{1}$ 单位长度的分布导纳

$\frac{dV}{dz} = Z_{1}I$ $\frac{dI}{dz} = Y_{1}V$

$\frac{d^{2}V}{dz^{2}} = Z_{1}\frac{dI}{dz} = Z_{1}Y_{1}V$

$\frac{d^{2}I}{dz^{2}} = Y_{1}\frac{dV}{dz} = Z_{1}Y_{1}I$

令 $\gamma = \sqrt{Z_{1}Y_{1}} = \sqrt{(R_{1} + j\omega L_{1})(G_{1} +j\omega C_{1})} = \alpha + j\beta$

$\gamma$ ：传播系数， $\alpha$ ：衰减常数 $\beta$ ：相位常数

$\frac{d^{2}V}{dz^{2}} - \gamma ^{2}V = 0$ (1)

$\frac{d^{2}I}{dz^{2}} - \gamma ^{2}I = 0$ (2) 波动方程

电压、电流的通解

$V(z) = Ae^{-\gamma z} + Be^{\gamma z}= Vi(z) + Vr(z)$ $V(z) = Ae^{-\gamma z} + Be^{\gamma z}= Vi(z) + Vr(z)$ A, B 边界条件

$I(z) = \frac{dV}{Z_{1}dz} = \frac{Ae^{\gamma z}}{\frac{Z_{1}}{\gamma }} + \frac{Be^{-\gamma z}}{\frac{Z_{1}}{-\gamma }} =\frac{A}{Z_{0}}e^{-\gamma z} -\frac{B}{Z_{0}}e^{\gamma z} = Ii(Z) + Ir(Z)$

$Z_{0} = \frac{Z_{1}}{\gamma } = \sqrt{\frac{Z_{1}}{Y_{1}}} = \sqrt{\frac{R_{1} + j\omega L_{1}}{G_{1} + j\omega C_{1}}}$ 传输线的特征阻抗

特殊情况：

1.已知终端电压V2和电流I2时的解

z= l, V(l)=V2, I(l)=I2代入通解

$A=\frac{V_{2}+I_{2}Z_{0}}{2}e^{\gamma l}$

$B=\frac{V_{2}-I_{2}Z_{0}}{2}e^{-\gamma l}$

$V(z) = \frac{V_{2}+I_{2}Z_{0}}{2}e^{\gamma z} + \frac{V_{2}-I_{2}Z_{0}}{2}e^{-\gamma z}$

$I(z) = \frac{dV}{Z_{0}dz} =\frac{V_{2}+I_{2}Z_{0}}{2Z_{0}}e^{\gamma z} -\frac{V_{2}-I_{2}Z_{0}}{2Z_{0}}e^{-\gamma z}$

也可表达成：

$V(z)=V_{2}cosh\gamma z +I_{2}Z_{0}sinh\gamma z$

$I(z)=\frac{V_{2}}{Z_{0}}sinh\gamma z +I_{2}cosh\gamma z$

2.已知始端电压V1和电流I1时的解

将z=0 V(0)= V1, I(0)=I1代入通解

$A=\frac{V_{1}+I_{1}Z_{0}}{2}$

$B=\frac{V_{1}-I_{1}Z_{0}}{2}$

$V(z) = \frac{V_{1}+I_{1}Z_{0}}{2}e^{-\gamma z} + \frac{V_{1}-I_{1}Z_{0}}{2}e^{\gamma z}$

$I(z) = \frac{dV}{Z_{0}dz} =\frac{V_{1}+I_{1}Z_{0}}{2Z_{0}}e^{-\gamma z} -\frac{V_{1}-I_{1}Z_{0}}{2Z_{0}}e^{\gamma z}$

3.已知电源电动势Eg和内阻Zg及负载阻抗 $Z_{l}$ 时的解：

将 Z=0 $V(0)=E_{g}-I_{l}Z_{g}$ $I(0)=I_{1}$

Z=l $V(l)=I_{2}Z_{l}$ $I_{l}=I_{2}$ 代入通解

$A=\frac{E_{g}Z_{0}}{(Z_{g}+Z_{0})(1-\tau _{1}\tau _{2}e^{-2\gamma l})}$

$B=\frac{E_{g}Z_{0}\tau _{2}e^{-2\gamma l}}{(Z_{g}+Z_{0})(1-\tau _{1}\tau _{2}e^{-2\gamma l})}$

其中 $\tau _{1}=\frac{Z_{g}-Z_{0}}{Z_{g}+Z_{0}}$ $\tau _{2}=\frac{Z_{l}-Z_{0}}{Z_{l}+Z_{0}}$ 反射系数

特解为：

$V(z)=\frac{E_{g}Z_{0}}{Z_{g}+Z_{0}}*\frac{e^{-\gamma z}+\tau _{2}e^{-2\gamma l}e^{\gamma z}}{(1-\tau _{1}\tau _{2}e^{-2\gamma l})}$

$I(z)=\frac{E_{g}}{Z_{g}+Z_{0}}*\frac{e^{-\gamma z}-\tau_{2}e^{-2\gamma l}e^{\gamma z}}{(1-\tau _{1}\tau _{2}e^{-2\gamma l})}$

4. 负载Z = 0 V(0) = V $_{L}$ I(0) = I $_{L}$

$V_{L} = A + B$ $I_{L} = \frac{A}{Z_{0}} - \frac{B}{Z_{0}}$

推出： $A =\frac{V_{L}+I_{L}Z_{0}}{2}$ $B = \frac{V_{L}-I_{L}Z_{0}}{2}$

特解为：

$V(z) = V_{L}cosh(\gamma z) + I_{L}Z_{0}sinh(\gamma z)$ (1)

$I(z) = I_{L}cosh(\gamma z) +\frac{V_{L}}{Z_{0}}sinh(\gamma z)$ (2)

$\gamma = \sqrt{Z_{1}Y_{1}} = \sqrt{(R_{1} + j\omega L_{1})(G_{1} +j\omega C_{1})} = \alpha + j\beta$ (3)

1.微波低损线

$\gamma = \sqrt{ZY} = \sqrt{(R + j\omega L)(G +j\omega C)} = \alpha + j\beta$

$\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}[\sqrt{(R^{2}+\omega ^{2}L^{2})(G^{2}+\omega ^{2}C^{2})}+(RG-\omega ^{2}LC) ]}$

$\beta = \sqrt{\frac{1}{2}[\sqrt{(R^{2}+\omega ^{2}L^{2})(G^{2}+\omega ^{2}C^{2})}-(RG-\omega ^{2}LC) ]}$

微波频段（f = 300M~~~3000GHz）

$R<<\omega L$ $G<<\omega C$

则 $\gamma =\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}+\frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}+j\omega \sqrt{LC}$

$\beta =\omega \sqrt{LC}$

$Z_{0} = \sqrt{\frac{Z}{Y}} = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}\approx \sqrt{\frac{L}{C}}$

对于损耗较小的均匀传输线，其 $\beta$ $Z_{0}$ 和无损相同

2.无损耗的理想传输线 R1=0 G1= 0

$\gamma = \sqrt{Z_{1}Y_{1}} = \sqrt{(R_{1} + j\omega L_{1})(G_{1} +j\omega C_{1})} = \alpha + j\beta$

$\alpha =0$ ; $\beta =\omega \sqrt{L_{1}C_{1}}$ $\gamma = j\omega \sqrt{L_{1}C_{1}} = j\beta$

$V(z) = Ae^{-\gamma z} + Be^{\gamma z} =Ae^{-j\beta z} + Be^{j\beta z} = Vi(z) + Vr(z)$ (2）

$I(z) = \frac{dV}{Z_{1}dz} =\frac{A}{Z_{0}}e^{-\gamma z} -\frac{B}{Z_{0}}e^{\gamma z} =\frac{A}{Z_{0}}e^{-j\beta z} -\frac{B}{Z_{0}}e^{j\beta z} = Ii(Z) + Ir(Z)$ （3）

瞬时表达式

$V(z, t) = Acos(\omega t+\beta z) + Bcos(\omega t-\beta z)$

$I(z,t) = \frac{A}{Z_{0}}cos(\omega t+\beta z)-\frac{B}{Z_{0}}cos(\omega t-\beta z)$

三传输线的物理意义

$V(z, t) = Acos(\omega t+\beta z) + Bcos(\omega t-\beta z)$

$I(z,t) = \frac{A}{Z_{0}}cos(\omega t+\beta z)-\frac{B}{Z_{0}}cos(\omega t-\beta z)$

$Acos(\omega t+\beta z)$ 表示输入波；从源端到负载

$Bsin(\omega t-\beta z)$ 表示反射波；从负载反射到源端

传输线的任意一点的电压、电流都是入射波与反射波的叠加；

四相速度和特征阻抗（相速度定义：等相位面移动的速度）

$V(z, t) = Acos(\omega t+\beta z) + Bcos(\omega t-\beta z)$

相位 $\omega t-\beta z$

t = t1 $\varphi =\omega t_{1}-\beta z_{1}$

t = t2 $\varphi =\omega t_{2}-\beta z_{2}$

$Vp=\frac{dz}{dt}=\frac{\omega }{\beta }$ （某些情况下可能大于光速）

无损： $Vp=\frac{\omega }{\beta }=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

有损： $Vp=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon _{r}}}$ 同轴和平行线

变换 $V_{p}=\lambda f=\frac{\omega }{\beta }$ $\beta =\frac{2\pi }{\lambda }$

TEM传输线上波的相速度与自由空间中波的速度相等

特征阻抗： $Z_{0}=\frac{V^{+}(z)}{I^{+}(z)}=\frac{\omega L}{\beta }=\sqrt{\frac{L}{C}}$

五衰减常数 $\alpha$

1.相对大小

1）分贝dB: $10lg\frac{P_{1}}{P_{2}}=20lg\frac{V1}{V2}$ (dB)

2) 奈培NP $\frac{1}{2}lg\frac{P_{1}}{P_{2}}=lg\frac{V1}{V2}$

2.绝对大小

1）分贝毫瓦（dBm）功率 $dBm = 10lg\frac{P}{1mW}$

$0 dBm = 10lg\frac{P}{1mW}$ P = 1mW

2)分贝瓦（dBW）功率 $dBW= 10lg\frac{P}{1W}$

$0 dBW = 10lg\frac{P}{1W}$ P=1W=10^3mW

六输入阻抗Zin(z): 传输线上任一点的电压与电流之比

$V(z)=V_{2}cosh\gamma z +I_{2}Z_{0}sinh\gamma z$ (1)

$I(z)=\frac{V_{2}}{Z_{0}}sinh\gamma z +I_{2}cosh\gamma z$ (2)

$Z_{l}(z) = \frac{V_{2}}{I_{2}}$ （3）

得： $Z_{in}(z) = \frac{V_{z}}{I_{z}}=Z_{0}\frac{Z_{l}cosh\gamma z +Z_{0}sinh\gamma z}{Z_{l}cosh\gamma z +Z_{0}sinh\gamma z}$

无损耗： $\gamma = j\omega \sqrt{LC} = j\beta$

$Z_{in}(z) = \frac{V_{z}}{I_{z}}=Z_{0}\frac{Z_{l}+jZ_{0}tan\beta z}{Z_{0} +jZ_{l}tan\beta z}$

七.反射系数 $\tau$ ：传输线上某点的反射电压与入射电压之比

$V(z) = Ae^{-\gamma z} + Be^{\gamma z}= Vi(z) + Vr(z)$

$I(z) = \frac{dV}{Z_{1}dz} =\frac{A}{Z_{0}}e^{-\gamma z} -\frac{B}{Z_{0}}e^{\gamma z} = Ii(z) + Ir(z)$

$\tau (z) = \frac{V_{r}(z)}{V_{i}(z)}=-\frac{I_{r}(z)}{i_{i}(z)}=\tau _{2}e^{-2\gamma z}$

$\tau _{2}=\frac{Z_{l}-Z_{0}}{Z_{l}+Z_{0}}=\left | \tau _{2} \right |e^{j\varphi _{2}}$

无损耗： $\gamma =j\beta$

$\tau(z)=\left | \tau \right |e^{j\varphi }=\tau _{2}e^{-2\gamma z}=\left | \tau _{2} \right |e^{j(\varphi ^{2}-2\beta z)}$

无损耗线上任意点的反射系数大小相等

无损耗线上任意两点之间的反射系数相位相差 $2\beta \Delta z$

1) $Z_{l}=Z_{0}$ 时，为行波（匹配）工作状态， $\tau _{2}$ = 0，无反射

2） $Z_{l}=0$ 时， $\tau _{2}$ = -1；

$Z_{l}=\propto$ 时， $\tau _{2}$ = 1；

$Z_{l}= \pm jX_{l}$ 时， $\left | \tau _{2} \right |$ = 1；行波工作状态，全反射

3） $Z_{l}= R+\pm jX_{l}$ 时， $0<\left | \tau _{2} \right |<1$ ; 行驻波状态，部分吸收部分反射

八驻波系数与行波系数

驻波比：传输线上相邻的波腹点与波谷点的电压振幅之比， $\rho$ 表示

行波系数与驻波系数互为倒数，用K表示

$\rho =\frac{\left | V_{max} \right |}{\left | V_{min} \right |}= \frac{\left | V_{i} \right |+\left | V_{r} \right |}{\left | V_{i} \right |-\left | V_{r} \right |}=\frac{1+\left | \tau \right |}{1-\left | \tau \right |}$ $\left [ 1~\infty \right )$

传输功率P(z）：

$V(z)=V_{i}[1+\tau (z)]$

$I(z)=I_{i}[1-\tau (z)]$

$P(z)=\frac{1}{2}Re[V(z)I^{*}(z)]=\frac{\left | V(z) \right |^{2}}{2Z_{0}}[1-\left | \tau _{Z} \right |^{2}]=P_{i}(z)-P_{r}(z)$

无损线上任一点的功率是相同的，一般在电压波腹点（电流波节点）计算

$P(z)=\frac{1}{2}\left | V \right |_{max}*\left | I \right |_{min}=\frac{1}{2}\frac{\left | V \right |^{2}max}{Z_{0}}K$

传输线Vmax是一定的，取决于介质的击穿电压Vbr，不击穿前提下，传输线的最大功率为传输线的功率容量

$P(z)==\frac{1}{2}\frac{\left | V_{br} \right |^{2}}{Z_{0}}K$

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传输线知识（一）

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