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柯西数列
一个数列 a n a_n an称为柯西数列（Cauchy Sequence），如果对于任意的正数 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，存在一个正整数 N N N，使得对于所有的 m , n ≥ N m, n \geq N m,n≥N，都有： ∣ a m − a n ∣ < ϵ |a_m-a_n|<\epsilon ∣am−an∣<ϵ。
即：当数列的项 a n a_n an 和 a m a_m am 的索引足够大时，它们之间的距离可以任意小。
柯西收敛准则
在实数集 R \mathbb{R} R 或复数集 C \mathbb{C} C 中，每一个柯西数列都是收敛的。
即：数列 a n {a_n} an 是柯西数列，当且仅当它是收敛的。
数列 a n = 1 / n a_n=1/n an=1/n是柯西数列
考虑数列 a n {a_n} an，其中 a n = 1 n a_n = \frac{1}{n} an=n1。
对于任意 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，选择 N > 1 ϵ N > \frac{1}{\epsilon} N>ϵ1。当 m , n ≥ N m, n \geq N m,n≥N 时，有：
∣ a m − a n ∣ = ∣ 1 / m − 1 / n ∣ = ∣ ( n − m ) / m n ∣ |a_m-a_n|=|1/m-1/n|=|(n-m)/mn| ∣am−an∣=∣1/m−1/n∣=∣(n−m)/mn∣
对于 m , n ≥ N m, n \geq N m,n≥N，我们有 m > = N 且 n > = N m>=N 且 n>=N m>=N且n>=N，因此 m n > = N 2 mn>=N^2 mn>=N2
于是， ∣ ( n − m ) / m n ∣ < = ( n − m ) / N 2 |(n-m)/mn|<=(n-m)/N^2 ∣(n−m)/mn∣<=(n−m)/N2
由于 m m m 和 n n n 都是大于等于 N N N 的整数，因此：
∣ n − m ∣ < = ∣ n ∣ + ∣ m ∣ |n-m|<=|n|+|m| ∣n−m∣<=∣n∣+∣m∣
并且因为 m , n ≥ N m, n \geq N m,n≥N，所以：
∣ n − m ∣ < = ∣ N ∣ + ∣ N ∣ = 2 N |n-m|<=|N|+|N|=2N ∣n−m∣<=∣N∣+∣N∣=2N
综上，
∣ ( n − m ) / m n ∣ < = 2 N / N 2 = 2 / N |(n-m)/mn|<=2N/N^2=2/N ∣(n−m)/mn∣<=2N/N2=2/N
为了使 ∣ 2 N ∣ < ϵ \left| \frac{2}{N} \right| < \epsilon
N2
<ϵ，我们可以选择 N > 2 ϵ N > \frac{2}{\epsilon} N>ϵ2。这样，当 m , n ≥ N m, n \geq N m,n≥N 时，有
∣ ( n − m ) / m n ∣ < = 2 N / N 2 = 2 / N < ϵ |(n-m)/mn|<=2N/N^2=2/N<\epsilon ∣(n−m)/mn∣<=2N/N2=2/N<ϵ
数列 a n = 1 / n a_n=1/n an=1/n是一个柯西数列。
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