算术平均、几何平均、调和平均、平方平均，到底谁大谁小？

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今天我们来讨论一下平均数的大小关系。

首先明确，在接下来的讨论中，所有涉及到的数都是正数。

对于n个正数a1，a2，…，an，我们定义：

①算术平均数

A=(a1+a2+…+an)/n

②几何平均数

G=(n)√(a1a2…an)

③调和平均数

H=n/(1/a1+1/a2+…+1/an)

④平方平均数

R=√[(a1^2+a2^2+…+an^2)/n]

接下来我们来讨论一下这四个平均数的大小关系。

n个正数的平均数证明起来比较复杂，我们简化为讨论两个正数。

对于正数a、b：

A=(a+b)/2

G=√(ab)

H=2/(1/a+1/b)

R=√[(a^2+b^2)/2]

我们首先讨论算术平均数与几何平均数的大小关系。

(√a-√b)^2

=(√a)^2-2√a√b+(√b)^2

=a-2√(ab)+b≥0

a+b≥2√(ab)

(a+b)/2≥√(ab)

A≥G

进一步

√(ab)≤(a+b)/2

ab≤[(a+b)/2]^2

由(√a-√b)^2=0，可得

a=b

这就是非常重要的均值不等式。

若a＞0，b＞0，则

①a+b≥2√(ab)

②ab≤[(a+b)/2]^2

当且仅当a=b时，不等式取等号。

①当ab为定值S时，a+b的最小值为2√(ab)=2√S；

②当a+b为定值P时，ab的最大值为[(a+b)/2]^2=(P/2)^2=P^2/4；

口诀：积定和小，和定积大

接下来我们来讨论算术平均数与平方平均数的大小关系。

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2≥0

a^2+b^2≥2ab

2(a^2+b^2)

=(a^2+b^2)+(a^2+b^2)

≥(a^2+b^2)+2ab=(a+b)^2

a^2+b^2≥(a+b)^2/2

(a^2+b^2)/2≥(a+b)^2/4

=[(a+b)/2]^2

√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2

R≥A

最后我们来讨论几何平均数与调和平均数的大小关系。

2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)

a+b≥2√(ab)

1/(a+b)≤1/2√(ab)

2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)

≤2ab/2√(ab)=ab/√(ab)=√(ab)

2/(1/a+1/b)≤√(ab)

H≤G

把以上结论连列起来：

2/(1/a+1/b)≤√(ab)

≤(a+b)/2≤√(a^2+b^2)/2

我们举个简单的例子验证一下这个结论。

令a=2＞0，b=3＞0

H=2/(1/2+1/3)=12/5=2.4

G=√(2×3)=√6≈2.45

A=(2+3)/2=5/2=2.5

R=√[(2^2+3^2)/2]=√6.5≈2.55

H≤G≤A≤R

以上结论都可以从两个正数推广到n个正数，由于证明比较复杂，这里不作详细证明，大家只需要记住结论即可。

n/(1/a1+1/a2+…+1/an)

≤(n)√(a1a2…an)

≤(a1+a2+…+an)/n

≤√[(a1^2+a2^2+…+an^2)/n]

调和平均数≤几何平均数

≤算术平均数≤平方平均数