柯西不等式及证明

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柯西不等式是数学中非常重要的一个不等式，它是由法国数学家柯西在19世纪提出的。比较常用的是二维柯西不等式，即(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²。下面用比较直观的图形法证明一下。

几何证明方法

如下图构造两个直角三角形，直角边边分别为a、b和c、d，将两个三角形b、c两边置于同一直线上，顶点重合。

柯西不等式证明

那么组合图形是一个梯形，其面积为S=(a+d)(b+c)/2，3个三角形面积分别为S1=ab/2、S2=cd/2、S3=√(a²+b²)√(c²+d²)sinα/2。由梯形面积等于3个三角形面积之和得：

(a+d)(b+c)/2=ab/2+cd/2+√(a²+b²)√(c²+d²)sinα/2，化简得

ac+bd=√(a²+b²)√(c²+d²)sinα，两边平方得(ac+bd)²=(a²+b²)(c²+d²)sin²α，由于sinα≤1，所以(ac+bd)²≥(a²+b²)(c²+d²)。当sinα=1时等号成立，即α=90°，由此可得两个直角三角形相似，则有a/c=b/d，即ad=bc时等号成立。

几何法虽然形象直观，但无法说明a、b、c、d取负值的情况，而柯西不等式中的变量是可以取任意实数的。下面用代数的方法证明一下，也比较简单。

代数证明方法

(a²+b²)(c²+d²)-(ac+bd)²=a²d²+b²c²-2abcd=(ad-bc)²≥0，当ad=bc时等号成立。

n维柯西不等式

柯西不等式可以扩展到n维：

(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)²

证明：设向量m=(a1,a2,…an)，向量n=(b1,b2,…bbn，向m、n夹角为α，那么m.n=|m|.|n|cosα，所以

(m.n)²=|m|².|n|²cos²α≤|m|².|n|²，由于|m|²=a1²+a2²+…+an²

|n|²=b1²+b2²+…+bn²

m.n=a1b1+a2b2+…+anbn，代入得：

(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)²，当m或n有一个为0向量，或者cosα=±1时，等式成立。前一种情况aibi=0(i=1,2,…n)，成立。后一种情况向量平行或共线，则有m=λn(λ为任意非0常数)。所以有ai=λbi,aj=λbj，两者交叉相乘得aibj=ajbi(i,j=1,2,…n)时等号成立。