正定矩阵的几个重要性质

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1：A是n阶正定矩阵,求证:存在n阶可逆矩阵P使得A=P’P

A是n阶正定矩阵.∴A的特征值全部是正数：λ1,λ2,……λn
存在正交矩阵Q [Q^﹙-1﹚＝Q’] 使Q’AQ＝diag﹙λ1,λ2,……λn﹚
而diag﹙λ1,λ2,……λn﹚＝diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚×diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚
A＝Qdiag﹙λ1,λ2,……λn﹚Q’
＝[Qdiag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚]×[diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚Q’]
取P＝diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚Q’ [显然可逆]
则A＝P’P

2：

3：若A, B都是正定矩阵, 则AB的特征值都是正数. 如果AB是对称矩阵, 即AB = BA, 则AB是正定矩阵.

因为 AB=BA
所以 (AB)‘=B‘A‘=BA=AB
所以 AB 是对称矩阵.
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P‘P,B=Q‘Q.
故 AB = P‘PQ‘Q
而 QABQ^-1=QP‘PQ‘ = (PQ)‘(PQ) 正定, 且与AB相似
故 AB 正定.

4：假设A, B, C都是正定矩阵. 如果ABC是对称矩阵, 即ABC =CBA, 则ABC是正定矩阵.

这里用到了第三条结论。

5：设C为n阶实可逆矩阵，A为n阶实对称矩阵，证明：A正定当且仅当C’AC正定

必要性：A正定→A与E合同→存在可逆矩阵D,使得A=D’D.
那么B=C’AC=C'(D’D)C=(DC)'(DC),所以B与E合同→B正定；
充分性：B=C’AC正定→B与E合同→存在可逆矩阵M,使得B=C’AC=M’EM=M’M
那么A=(C’)^(-1)*M’M*(C)^-1=(M(C)^-1)'(M(C)^-1),C可逆则C^(-1)可逆→M(C)^-1可逆,

所以A与E合同→A正定。

6：

存在性的证明：

唯一性的证明：

最后一步方程两边先左乘U’，再右乘V‘,得到B=C。