数列与数学归纳法讲解

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数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题。

1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明。

2、第一数学归纳法：通过假设n = k 成立，再结合其它条件去证n = k + 1 成立即可.证明的步骤如下：

（1）归纳验证：验证n = n0（n0是满足条件的最小整数）时，命题成立；

（2）归纳假设：假设n = k (k 大于或等于n0 ,n 属于整数) 成立，证明当n = k + 1 时，命题也成立；

（3）归纳结论：得到结论： n 大于或等于n0 , n 属于整数时，命题均成立。

3、第一归纳法要注意的地方：

（1） 数学归纳法所证命题不一定从n = 1 开始成立，可从任意一个正整数n0 开始，

此时归纳验证从n = n0 开始；

（2） 归纳假设中，要注意k 大于或等于n0 ，保证递推的连续性；

（3） 归纳假设中的n = k ，命题成立，是证明n = k + 1 命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找n = k + 1 与n = k 的联系。

4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n = k 命题成立时，可用的条件只有n = k ，而不能默认其它n 小于或等于 k 的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n 小于或等于 k ，命题均成立，然后证明n = k + 1 命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：

（1） 归纳验证：验证n = n0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立；

（2） 归纳假设：假设n 小于或等于k (k 大于或等于n0 ,n 属于整数) 成立，证明当n = k + 1 时，命题也成立；

（3） 归纳结论：得到结论： n 大于等于n0 , n 属于整数时，命题均成立。

5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点：

一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认 n 的初始值 n0 不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设。