《白话高中数学》复数（二）——虚数为什么不能比较大小？

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实数是可以比较大小的，那么虚数是否也能比较大小呢？

答案是否定的，我们不能说3i>2i或者3i<2i，虽然虚部的系数之间存在大小关系，但作为虚数本身没有办法比较大小。

同样，虚数和实数之间也不能比较大小。

这是为什么呢？

实数能比较大小，是因为在实数范围内的所有元素可以构成一个有序列关系的全序域，从负无穷到0，再到正无穷，所有的元素都可以按照大小排成一排；不仅如此，这种排序还和代数运算（加法和乘法）相兼容，比如实数系内有a、b、c三个数，如果a>b，那么肯定存在a+c>b+c。

但虚数范围内，就不存在这种有序列关系的有序域，

同时，如果c>0，同样存在ac>bc。

但虚数的定义是i2=-1，i是虚数单位，如果说3i>2i ，那么我们两边同时乘以一个i，假设i>0（当然只是假设，i和0之间也是没办法比较大小的），就会出现3i2>2i2，根据定义就会有-3>-2，这显然和实数范围内的大小关系不符，这就很尴尬了。

我们现在举一个虚数单位自己把自己干废的例子：如果假设i<0，它那么就会有-i>0，不等式两边同乘以一个正值，不等式符号是不变，但（-i）×i=- i2=1>0，这显然和给出的假设是矛盾的。

由此可以知道，纯虚数虽然系数是可以按照实数的大小有序排列的，但因为虚数之间和代数的乘法不相容，没有办法构成一个有序域，也就不能比较大小。

也就是说，纯虚数之间没办法比较大小，纯虚数和0没办法比较大小，纯虚数和实数之间没办法比较大小，这也就意味着，实部不为0的虚数a+bi和c+di之间，同样没办法比较大小。

虽然两个虚数之间没办法比较大小，但如果实部和实部相同，虚部和虚部相同，那么这两个虚数就是相等的。

如果实部和实部互为相反数，虚部和虚部互为相反数，那么这两个虚数就是相反数，下面这两个虚数就是彼此的相反数：

如果两个虚数实部相同，但虚部是相反的，那它们就称为彼此的共轭复数：

如果在复平面上表示这两个互为共轭的复数，可以发现它们是复平面上关于x轴对称的两点，如下图：

显然，如果我们把原点和这两个复数点连接起来，我们会发现，在复平面内，每一个复数，都有一个唯一的向量和它对应：

这样一来，复数也就能和平面直角坐标系中以原点O为始点的向量之间建立一一对应的关系。

因此，我们可以借助向量来描述复数，复数对应向量的模（大小），也称为复数的模（复数的绝对值）。