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在当前的高中数学课本教材当中,对极限的内容讲解的比较少,但是极限在求解和证明导数,特别是初等函数的求导过程推导的时候,经常用到,比如sinx,cosx,x²,等函数导数的时候需要从本质上利用到极限的一些定义,运算和基本重要的极限.所以本文就特意补充下这方面的知识. 同时给出了1981年数学课本教材当中的关于这部分的详细推导过程.
极限的定义、性质和运算规则是微积分中的基本概念,它们构成了函数极限理论的核心。
一: 极限的学习提纲汇总:
极限的定义
1. 数列极限:设数列 {} 趋向于极限 L,则对于任意给定的正数 ε,存在正整数 N,使得当 n > N 时,有 |
– L| < ε。
2. 函数极限:设函数 f(x) 当 x 接近 时的极限是 L,则对于任意给定的正数 ε,存在正数 δ,使得当 0 < |x –
| < δ 时,有 |f(x) – L| < ε。
极限的性质
1. 唯一性:如果极限存在,则它是唯一的。
2. 局部有界性:如果函数在点 的某一邻域内有界,则极限存在。
3. 保序性:如果极限 存在且
,则有
4. 代数性质:
– 加法:
– 减法:
– 乘法:
– 除法:如果,则
5.重要极限:
=e
极限的运算规则
1. 极限的传递性:如果 = A 且
= B,则
存在且等于 A + B。
2. 极限的有界性:如果 存在,则存在一个正数 M,使得对于足够接近
的 x,有 |f(x)| ≤ M。
3. 极限的夹逼定理:如果 f(x) 被两个函数 g(x) 和 h(x) 夹逼,且,则
。
4. 极限的洛必达法则(仅适用于特定情况):如果 存在,则
,前提是 f'(x) 和 g'(x) 在考虑的点附近连续。
二: 1981年中学数学教材第6册:极限部分的内容如下图:

















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