函数极限的概念和极限的运算法则:附1981年中学数学实验教材讲解

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在当前的高中数学课本教材当中,对极限的内容讲解的比较少,但是极限在求解和证明导数,特别是初等函数的求导过程推导的时候,经常用到,比如sinx,cosx,x²,等函数导数的时候需要从本质上利用到极限的一些定义,运算和基本重要的极限.所以本文就特意补充下这方面的知识. 同时给出了1981年数学课本教材当中的关于这部分的详细推导过程.

极限的定义、性质和运算规则是微积分中的基本概念，它们构成了函数极限理论的核心。

一: 极限的学习提纲汇总:

极限的定义

1. 数列极限：设数列 {} 趋向于极限 L，则对于任意给定的正数 ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 | – L| < ε。

2. 函数极限：设函数 f(x) 当 x 接近 时的极限是 L，则对于任意给定的正数 ε，存在正数 δ，使得当 0 < |x – | < δ 时，有 |f(x) – L| < ε。

极限的性质

1. 唯一性：如果极限存在，则它是唯一的。

2. 局部有界性：如果函数在点 的某一邻域内有界，则极限存在。

3. 保序性：如果极限 存在且 ，则有

4. 代数性质：

– 加法：

– 减法：

– 乘法：

– 除法：如果，则

5.重要极限:

=e

极限的运算规则

1. 极限的传递性：如果 = A 且 = B，则 存在且等于 A + B。

2. 极限的有界性：如果 存在，则存在一个正数 M，使得对于足够接近 的 x，有 |f(x)| ≤ M。

3. 极限的夹逼定理：如果 f(x) 被两个函数 g(x) 和 h(x) 夹逼，且，则。

4. 极限的洛必达法则（仅适用于特定情况）：如果 存在，则 ,前提是 f'(x) 和 g'(x) 在考虑的点附近连续。

二: 1981年中学数学教材第6册:极限部分的内容如下图: