什么是频率分辨率？

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用窄带谱描述信号的频域信息时，离不开频率分辨率（或称为频率间隔）这个名词术语，它对频谱有很大的影响，比方说会影响谱线数量、幅值精度、频率精度等多方面。在频域，相对于其他表示形式的频谱，如倍频程而言，窄带谱是应用最广的频域表示。所以，在用窄带谱表示时，频率分辨率是一个非常重要的参数，即使用倍频程表示，也受频率分辨率的影响。故，在这，让我们聊一聊频率分辨率。

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频率分辨率的定义

在介绍频率分辨率之前，有必要简要地介绍一下谱线这个概念。我们知道采样得到的时域信号是离散的，相邻两个时域数据点（图1黑点表示）的时间间隔称为时间分辨率 （采样频率 的倒数）， ，如图1所示。同样，时域信号经快速傅里叶变换（FFT）得到的频谱也是离散的，由FFT计算得到的频域值只位于一些特定的频率处，这些特定的频率位置称为谱线。如图2所示，FFT的结果只位于图中虚线频率处，这些虚线就是谱线，黑点表示该条谱线处的幅值，由离散的黑点连接的红色曲线是该信号的幅频曲线。谱线之间的频率间距是相同的，相邻谱线之间的频率间隔称为频率分辨率， 。因此，谱线只出现在频率分辨率的整数倍处，图2中的频率范围为0~10Hz，由于频率分辨率为0.2Hz，故，图2中有50条谱线。这些谱线并不是真实的线条，而只是代表在这个频率位置有一个FFT计算数值。

图1 采样得到的离散数据点

图2 频谱中的谱线示意

除了由相邻谱线的频率间隔定义频率分辨率之外，也可以由一帧时域数据的长短来定义频率分辨率。进行一次FFT计算所截取的时域信号长度 ，称为一帧时域数据。一帧时域数据时长T的倒数，即为频率分辨率

通过上面的公式，我们明白了频率分辨率与一帧时域数据长度的关系。缩短一帧数据长度 ，频率分辨率Δf数值变大，意味着更粗糙的频率分辨率（相邻谱线间距更远）。要想获得更精细的频率分辨率 ，应截取更长的一帧时域数据 。如图3所示，一帧数据长度 由左上角的0.5s增加到左下角的1s，则频率分辨率由右上角的2Hz减少为右下角的1Hz。频率分辨率数值更小，谱线更密，频率精确更高。

图3 增加一帧时域数据时长，将获得更精细的频率分辨率，左侧为一帧时域数据，右侧为其对应的频谱。第一行 =0.5s， =2Hz；第二行 =1s， =1Hz

一帧时域数据除了用时长表示之外，也可以用采样点数（数据点数） 来表示，如果采样频率为1000Hz，则1s的时域数据包含1000个数据点。当用数据点数N来表示一帧时域数据长度时，频率分辨率可定义为

以上两个公式，可以相互推导出来。若一帧时长为 的时域数据有 个采样点，那么 ，则有：

上式也表明，一次FFT分析 个数据点，那么，得到的频谱图有 条谱线。这是因为带宽 是采样频率的一半，即

上式表明，带宽、谱线数和频率分辨率有内在关系。确定其中任一两个参数，第3个随之确定。

在FFT分析时，频率分辨率是一个非常重要的设置参数，它对频率精度、幅值精度（对随机信号的PSD幅值没有影响）、计算时域数据的时长等有严重影响。有时，如对正弦信号进行FFT分析，频率分辨率设置不合适，会导致信号的幅值不准确，且出现明显的频谱拖尾效应。

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对频率精度的影响

从图2中可以看出，FFT计算结果只位于各条谱线处，谱线与谱线之间是没有结果的，频谱的这种离散效应，称为栅栏效应。就好像人们通过篱笆看外面的世界一样，只能通过相邻两块篱笆之间的缝隙看到外面的世界，而篱笆却挡住了人们的视线。将相邻两块篱笆之间的缝隙比拟为频谱图中的谱线，即谱线上才有数据（精彩的世界），谱线之间的区域由篱笆挡住，没有数据。如图4所示，只有谱线上才有红色的幅值数据，最后的幅频曲线是根据这些谱线上的数据点连成的曲线。

图4 栅栏效应示意

由FFT或DFT（离散傅里叶变换）得到的频谱，频率成分是按四舍五入的原则归到临近的谱线上。因此，从频谱图中获得的频率成分与真实值之间的误差位于 ~ 之间，也就是说，最大频率误差不会大于半个频率分辨率。频率分辨率数值越小，相邻谱线间隔越近，求得的频率误差越小，频率精度越高。但是另一方面，这要求截取更长的一帧时域信号。在信号总时长一定的情况下，更长的一帧数据，意味着更少的平均次数（或更少的FFT计算次数）。因此，在做FFT计算时，不能设置过精细的频率分辨率，过精细的频率分辨率意味着更长的一帧时域数据；也不能设置过粗糙的频率分辨率，粗糙的频率分辨率将降低频率精度。

不管怎样，频谱图中的频率总是与真实值有差异，除了一种极少出现的特殊情况：压谱线采样。压谱线采样是指信号的频率成分为频率分辨率∆f的整数倍，使得频谱图中有一条谱线与信号的频率成分重合。此时，截取的一帧时域数据长度刚好是信号周期的整数倍。对这个信号进行FFT分析时，能得到准确的频率成分，同时，幅值也是准确的，如果是个单频信号，其频谱为线状谱，与我们预期的样子相同。如图5是对1V有效值、频率为20Hz的信号进行压谱线采样得到的理想线状谱。

图5 1V有效值正弦波的预期频谱

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对幅值的影响

对于正弦信号而言，如果不是压谱线采样，那么，得到的频谱，除了频率存在误差之外，信号的幅值也不准确，频谱出现明显的拖尾效应。对图5所示的信号进行采样，频率分辨率为1.6Hz，得到的频谱如图6所示。从图中可以看出，频谱在19.2Hz和20.8Hz处有最大幅值，为0.85V，分析时施加了汉宁窗，幅值失真了15%。得到的频率成分也与真实值有0.8Hz的误差。另一方面，频谱由图5的单条谱线变成了能量主要分布到4条谱线上，因此，出现了明显的频谱拖尾效应。

图6 20Hz正弦信号在频率分辨率1.6Hz下的频谱

我们知道，在带宽一定的情况下，不同的频率分辨率使得频谱具有不同的谱线数。对于有些频谱，如随机信号的频谱spectrum与自谱autopower linear等，会出现谱线数越多，幅值越低的现象。对一个随机信号进行自谱分析，频率分辨率分别设置为1，2和4Hz，假设频率分辨率4Hz对应的谱线数为N，则1Hz和2Hz的频率分辨率下的谱线数分别为4N和2N。随机信号的总能量要分布到每条谱线上，随着谱线数量的增加，每条谱线上的幅值必然降低。因此，从图7可以看出，随机信号的频谱幅值随频率分辨率的降低而降低。但对于随机信号的PSD而言，不同频率分辨率下的PSD幅值相同。

图7 随机信号的自谱幅值随频率分辨率的降低而降低

除了频率分辨率会影响频率幅值之外，泄漏对幅值也有影响。由于信号截断导致数据不满足傅里叶周期性变换要求而出现频谱泄漏，表现是信号的能量泄漏到邻近的谱线上，或者说，需要更多的谱线才能近似这个信号。这样一来，信号的幅值与真实值之间存在差异，为了减少泄漏，需要加窗函数，但加窗只能减少泄漏，不能消除泄漏，因此，加窗后的信号幅值仍与真实值有差异。

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对瀑布图分析的影响

瀑布图分析多针对旋转机械的NVH分析，采用“跳跃式的FFT变换”方式计算每帧时域数据对应的瞬时频谱，每帧时域数据的长度由频率分辨率的倒数决定。假设某旋转部件的转速按固定的变化速率600rpm/s变化，对应的频率变化速率为10Hz/s，当设置0.5Hz的频率分辨率时，每帧时域数据的时长为2s，这时各阶次对应的频率变化量和转速变化量为：

• 第1阶次对应的频率变化量为20Hz，转速变化量1200rpm。
• 第3阶次对应的频率变化量为60Hz，转速变化量3600rpm。
• 第5阶次对应的频率变化量为100Hz，转速变化量6000rpm。

描述这个变化量，1阶次需要40条谱线（在阶次对应的频率左右各拖尾20条谱线），3阶次需要120条谱线，5阶次需要200条谱线。随着描述阶次变化量的谱线数量增多（拖尾严重），相邻的两个阶次就存在共用一些谱线的可能性，从而导致阶次变得模糊不清，特别是拖尾更严重的高阶次。

如果取频率分辨率为5Hz，那么每帧时域数据的时长为0.2s，这时各阶次对应的频率变化量和转速变化量为：

• 第1阶次对应的频率变化量为2Hz，转速变化量120rpm。
• 第3阶次对应的频率变化量为6Hz，转速变化量360rpm。
• 第5阶次对应的频率变化量为10Hz，转速变化量600rpm。

描述这个频率分辨率下的变化量，1阶次仅用1条谱线，3阶次仅用2条谱线，5阶次也仅用4条谱线。相比较于之前0.5Hz的频率分辨率，拖尾效应改善明显，但还存在。

因此，从上面分析可以看出，当转速变化速率一定时，频率分辨率数值越大，每帧时域数据的长度越短，一帧时域数据的频率变化量和转速变化量越小，拖尾现象越轻，相应的阶次越清晰。因此，对于旋转机械的振动噪声信号进行瀑布图分析时，必须要考虑转速变化速率和频率分辨率的影响：当转速变化速率越快，频率分辨率应越粗糙，相应的瀑布图阶次才越清晰。

在这，对转速在21.07s内从865.8rpm上升到4799.89rpm的一个振动信号取两个频率分辨率进行瀑布图分析。转速变化速率为186.7rpm/s，对应的频率变化速率为3.1Hz/s，频率分辨率分别设置为0.5Hz和5Hz，得到的colormap图如图8所示。从图中可以看出，5Hz频率分辨率下各阶次更清晰，特别是高阶次，这是因为相应的时域数据块长度更短（0.2s），在这个更短的时间内，转速变化量没有0.5Hz对应的时域数据块变化大，因此，频率拖尾不如之前严重，对应的阶次反而更清晰。

图8 频率分辨率分别为0.5Hz（上）和5Hz（下）的colormap图

对旋转机械的振动噪声进行瀑布图分析时，时域数据块越短，转速变化量越小，越可认为在该时间段内信号是稳态信号。因此，当做瀑布图分析时，需要根据转速的变化速率来选择合适的频率分辨率。更优的频率分辨率（频率间隔越小），频谱拖尾可能越严重，特别是在转速变化速率更快的情况下。

如果你能控制转速变化的速率，那么这总是最合适的测试方式。然而，往往转速变化的时间是不确定的，比如汽车测试的工况是节气门全开工况（WOT），这种情况下的瀑布图分析，频率分辨率应该更粗糙。当转速变化速率越快时，频谱对应的能量越拖尾严重，为了减少拖尾现象，应选择更短的时域数据块，即频率分辨率应越粗糙。

通常想获得高的频率分辨率（更小的频率间隔），但这要求截取更长的时域数据块用于FFT计算。在截取时域数据块的过程中，转速变化可能非常快，那么，这将导致能量分布到多条相邻的谱线上，出现拖尾现象。因此，当频率分辨率精细的情况下，可能频率拖尾现象更严重，特别是转速变化速度快的情况下。所以，我们要明白，瀑布图分析时，为了减少频率拖尾效应，需要在转速变化速率与频率分辨率这两个参数之间进行权衡。总的原则是，转速变化速率越快，瀑布图分析的频率分辨率应越粗糙，对应的阶次才会更清晰。

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对倍频程的影响

噪声分析经常使用倍频程。倍频程实旨是由窄带谱计算得到的，根据相应的方法（基数10或基数2）确定各个倍频程带的上、下限频率，然后由各个倍频程带内所有谱线的幅值计算该倍频程带的总均方根值，每个倍频程带由一个单值表示。

我们知道，倍频程带在低频段窄，高频段宽。这样，低频倍频程带包含的谱线数少，高频倍频程带包含的谱线数多。如图9所示，蓝色直线条表示窄带谱的谱线，可以看出，高频段的倍频程带谱线密集。而我们知道，任一商业软件在由窄带谱计算倍频程时，都有一个默认设置，即要求倍频程带至少应包含一定数目的谱线才能计算出该倍频程带的结果。如Testlab默认是5条谱线。如果低频倍频程带内没有5条谱线，那么，该倍频程带将没有结果显示。如图10所示，在中心频率200Hz以下的倍频程带没有任何结果。

图9 倍频程与窄带谱叠加显示

图10 1/3倍频程在中心频率200Hz以下没有结果

如果频率分辨率更精细，能保证每个倍频程带内的谱线数都满足默认要求，那么，每个倍频程带都会有结果。因此，如果倍频程计算中，低频倍频程带没有结果，可以从两个方面改善：第一，可以将频率分辨率设得更精细；第二，可以将倍频程带默认包含的谱线数改小。这样一来，能保证满足要求的倍频程下限有数值显示。

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频率分辨率设置建议

对于稳态信号，如旋转机械在某恒定转速下运行工况采集的信号，频率分辨率建议设置如下：振动信号的可设置为0.2或0.25Hz；对于噪声信号可设置为1Hz。

对于非稳态信号，如瞬态信号，频率分辨率的倒数对应的一帧时域数据应包含这个瞬态信号全程。如果是波动大的信号，则应设置粗糙的频率分辨率才能反映出信号的波动特性。因为粗糙的频率分辨率对应的一帧数据时长短。

对于锤击法试验，在频率分辨率倒数对应的时长内，应尽量保证响应信号衰减到零，从而实现无泄漏的测量，无须加窗。

当对旋转机械进行瀑布图分析时，需要根据转速的变化速率来选择合适的频率分辨率。更精细的频率分辨率，频谱拖尾将更严重，特别是在转速改变快的情况下。频率分辨率越精细，对应的一帧时域数据越长，这样转速变化量大，信号出现拖尾效应将越严重，导致阶次模糊不清，不利于故障诊断。故对于旋转机械的瀑布图分析，应着重注意频率分辨率对分析结果的影响。总的原则是，转速变化速率越大，瀑布图分析的频率分辨率应越粗糙，对应的阶次才会更清晰。