小学数学典型应用题（二十二）——容斥问题

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01

容斥问题

【含义】

容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，

然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，

这种计数的方法称为容斥原理。

常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。

【数量关系】

★ A∪B = A+B – A∩B

★ A∪B∪C = A+B+C – A∩B – B∩C – C∩A + A∩B∩C

02

解题思路和方法

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，

然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

可画文氏（韦恩）图来解题。

例1：

有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。

钉成的木板长 _____ 厘米。

解：

1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。

2、两块木板一共长50+50=100（厘米），

如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，

所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。

例2：

有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，

那么重叠部分长（ ）厘米。

A、2

B、4

C、8

D、16

解：

1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。

孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考.

没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。

2、两张纸条如果没有重叠，

那么一共长20＋20＝40（厘米），

而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），

说明重叠部分的长度是4厘米。选择B。

例3：

某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀.

下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？

解：

根据题意画图

2、我们可以先算出19+20+21=60（人），

但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。

3、由图可知，6、9、10人都是两两重叠的部分，被多算了一次，要减去：60-6-9-10=35（人），

但要注意，图中的3人，在计算19、20、21的和的时候被加了三次，在“-6-9-10”的时候又被减了三次，

那么相当于漏算了这3人，所以我们应该将漏算的3人加上，35+3=38（人），这38人是至少有一项达到优秀的人数。

算全班总人数，还需要加上三项都未达到优秀的4人。

所以共有38+4=42（人）。