材料力学：应力、应变、弹性模量、泊松比

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应力（Stress）、应变（Strain）、弹性模量（Elastic Modulus）和泊松比（Poisson’s Ratio） 是材料力学中的四个核心概念，它们共同描述了材料在外力作用下的力学行为。以下是它们的定义、关系以及工程意义的详细说明。

1. 应力（Stress）

定义

应力是材料内部单位面积上所受的内力，表示材料抵抗外力的能力。

公式

其中：

• σ：应力（单位：Pa 或 N/m²）。
• F：作用力（单位：N）。
• A：受力面积（单位：m²）。

分类

• 正应力（Normal Stress）：垂直于截面的应力分量，包括拉应力和压应力。
• 剪应力（Shear Stress）：平行于截面的应力分量。

2. 应变（Strain）

定义

应变是材料在外力作用下的相对变形量，表示材料的变形程度。

公式

其中：

• ϵ：应变（无量纲）。
• ΔL：变形量（单位：m）。
• L0：原始长度（单位：m）。

分类

• 正应变（Normal Strain）：沿某一方向的长度变化率。
• 剪应变（Shear Strain）：物体在剪切力作用下发生的角度变化。

3. 弹性模量（Elastic Modulus）

定义

弹性模量是材料在弹性变形阶段应力与应变的比值，反映材料的刚度。

公式

其中：

• E：弹性模量（单位：Pa 或 N/m²）。
• σ：应力。
• ϵ：应变。

分类

• 杨氏模量（Young’s Modulus）：描述材料抵抗拉伸或压缩变形的能力。
• 剪切模量（Shear Modulus）：描述材料抵抗剪切变形的能力。
• 体积模量（Bulk Modulus）：描述材料抵抗体积压缩的能力。

4. 泊松比（Poisson’s Ratio）

定义

泊松比是材料在单轴拉伸或压缩下，横向应变与纵向应变的比值。

公式

其中：

• ν：泊松比（无量纲）。
• 横向ϵ横向：横向应变。
• 纵向ϵ纵向：纵向应变。

取值范围

• 大多数材料的泊松比在 0 到 0.5 之间。
• 金属材料：0.25-0.35。
• 橡胶材料：接近 0.5（不可压缩材料）。

5. 四者之间的关系

（1）弹性模量与泊松比的关系

• 剪切模量 G 和体积模量 K 可以通过弹性模量 E 和泊松比 ν 计算：

（2）应力-应变关系（胡克定律）

• 在线弹性范围内，应力与应变满足胡克定律：

6. 工程意义

（1）应力

• 用于分析材料的强度，判断是否会发生失效（如断裂、屈服）。

（2）应变

• 用于分析材料的变形，评估结构的刚度和稳定性。

（3）弹性模量

• 反映材料的刚度，是选择材料的重要参数。

（4）泊松比

• 描述材料在受力时的横向变形特性，影响材料的体积变化行为。

7. 应用示例

（1）结构设计

• 通过应力分析确定结构的强度。
• 通过应变分析控制结构的变形。

（2）材料选择

• 根据弹性模量选择适合的材料。
• 根据泊松比评估材料的体积变化特性。

（3）失效分析

• 结合应力-应变曲线，预测材料的失效行为。

8. 常见材料的参数

以下是一些常见材料的弹性模量和泊松比：

总结

应力、应变、弹性模量和泊松比是材料力学的基础概念，它们共同描述了材料在外力作用下的力学行为。理解这些概念及其相互关系，对于材料选择、结构设计和失效分析具有重要意义。