线性代数的秘密：矩阵相乘的本质是什么？

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笔者继续来讲线性代数，今天我们主要深入讲解矩阵乘法：矩阵和矩阵相乘，矩阵和向量相乘的意义和数学实质。

老规矩，让我们开门见山，先举个矩阵相乘的例子：

这个乘法究竟有什么意义呢？为什么要这样乘呢？乘出来的向量或者矩阵又代表什么呢？

线代教育家 吉尔伯特.斯特朗

这件事情要从线代这门课做的其中一项工作“线性变换”说起，线性变换实际上指的是坐标系的拉伸，旋转之类的变换，但不包括扭曲，扭曲可就成非线性了。

我们先来看二维坐标系：

i，j是这个坐标系的基底向量，意思就是说这个坐标系的所有向量用这两个基底 i 和 j来表示

该坐标中所有的向量都能用这个简单的式子表述

线性代数主要是干什么事情呢？，它要你把这个直角坐标系变成不一定是直角的斜坐标系（斜坐标系原点0不能变，单位尺度间隔不变，必须具有线性），然后用这个新的坐标系表示出新的向量：

黑色坐标系变成红色坐标系，基底发生了改变

那这个线性变换究竟是改变了什么呢——表述新坐标系的基底发生了改变

新的i’和j’描述的是斜二维坐标

新的i’和j’描述的是斜的二维坐标。

于是说法就出来了：

第一列的 （1，3）向量可以被认为是新的i向量i’，只不过它是二元的，比之前的i基底向量长，还多了个j方向：

第二列的 （2，4）向量可以被认为是新的j向量j’，只不过它是二元的，比之前的j基底向量长，还多了个i方向：

那么这个结果是什么意思呢？

你应该已经大致有这种感觉了：在我们的直角坐标系里的（2，3），放进斜坐标系就成了（8，18）了。我们把直角坐标的向量放进斜坐标里，原来的向量的大小和方向都发生了改变。

那这个是什么意思呢？

按照上面的理解，它其实是两种不同的线性变换的叠加，最终得到一种新的复合线性变换。

于是你大概猜到了：三阶矩阵的意义就是空间向量的拉伸。原来在某个坐标系里的（4，5，0）通过某个斜的三维坐标系变成了（9，18，32）

歪斜的线性变换空间坐标

因此，矩阵和矩阵相乘的本质是坐标系的线性变换，矩阵和向量相乘的本质是向量的线性变换。