向量的运算法则为什么要如此进行规定？

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向量是高中阶段学习的一类特殊的量，它和数量是对应的。向量既有大小又有方向，也正是因为这一性质，使得向量在计算的过程中，与数量的运算有明显的差别。

向量都具有哪些运算呢？在人教版的高中数学必修 2 册中，一共谈及了四种运算法则，即向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算和向量的数量积运算。

我们知道数量运算和向量运算是不同的。在数量运算中，我们也有加法、加法、乘法和除法四种运算规则。但是对于数量的这四种运算规则，他们是来源于实际的，比如加法就来源于我们的计数过程。

所以这就说明数量运算法则的确定并不是完全从数学的角度出发的，而是以实际应用为主要的依据，进而确定运算法则，因为运算本身就是数学工具性的体现。

数量如此，那向量呢？再确定向量的运算法则的时候，是不是也主要是从实际应用的角度出发的呢？

向量的加法

首先，我们来看向量的加法，向量的加法法则有两种，一种是向量的三角形法则，一种是向量的平行四边形法则，两种法则本质上是一致的，只是相加方式的不同。

向量的加法法则为什么要如此进行定义？

首先要说明的是向量的加法法则是一种规定，一种认为的约定，就像数学中的公理一样，是不需要证明的，那为什么要这样约定呢？

在物理学中，经常会使用到一些既有大小又有方向的量的运算，比如说位移，比如说速度，这些量都属于我们数学中向量的范畴。

物理是一门自然科学，它主要研究物质、能量以及它们之间的相互作用，是反映客观世界的一门学科。在早期的研究中，人们发现某些既有大小又有方向的量之间的运算是存在某种关系的，比如说一辆汽车从 A 到 B，从 B 到 C，那么位移 之间就是存在某种关系的，即 ,而进一步总结，就总结出了位移之间的加法是满足三角形法则。

对于力，对于速度同样都是如此，均能够总结出这样的法则。

我们说数学是一门工具性的学科，它反映现实世界又高于现实世界，物理学通过对于现实物体运动的研究，总结出了某些既有大小又有方向的量是满足三角形法则的，在此基础之上，数学通过对这些量的一般化处理，就总结出了向量的概念，以及向量的加法运算法则。

对于向量的减法同样如此，也就是说，向量的加减法的运算法则是来源于客观世界的研究的，是具有合理性的。

从现实世界总结出的运算法则，能够更贴近实际，帮助我们更好的研究。

向量的数量积（内积）运算

谈完了向量的加减法运算，我们来说说关于向量的乘法运算，高中阶段接触到的向量的乘法运算一共又两种，分别是向量的数乘运算和向量的数量积运算。

对于向量的数乘运算，其本质是对向量的加法运算的进一步抽象和总结，这是向量运算法则的必然结果。

着重要讨论的是向量的数量积运算，在数的乘法中，我们知道数乘以一个数，其结果依旧为一个数，也就是说，结果本身的性质是不改变的。但是到了向量的数量积运算这里就不同了。两个向量的数量积是一个实数，结果本身的性质发生了改变。

那这样确定向量的数量积运算的依据是什么呢？为什么要确定这样一个向量的运算形式呢？

实际上，要明确的是，无论是向量的哪一种运算，其最终目的都是为了能够更好的反映现实生活，研究客观世界。

对于向量的数量积运算，对于其为什么要如此进行定义，还是要从物理学入手。

在物理学中，力和位移都是矢量，力所做的功就是力的大小和在这个力的方向上的距离的乘积。这样定义的好处就在于其反映了反映力对物体运动状态改变的贡献。

当力和位移在同一侧的时候，力对物体所做的功就是正功，当力和位移在相反的一侧的时候，力对物体所做的功就是负功。

而基于这些考虑，物理中就将力的做功公式写为

其中 就是两个向量起点相连时的夹角。

这样两个向量内积的公式还有很多，比如说功率的计算 ，磁通量的计算 等等。

也正是因为在物理学中的应用广泛，数学通过对于这些应用的总结，规定了一个一般的计算公式即向量的内积运算。

这样的规定就使得无论是力和位移的内积，还是力和速度的内积，又或者是磁场强度和面积向量的内积，都是向量的内积运算。这样只要对向量的内积运算进行进一步的研究，就能够对不同的特殊情况在的应用产生影响。

向量的运算只有这些了吗

实际上，通过前文的论述，我们可以了解到的是，无论是向量的哪一种运算，其本身都是对现实世界的客观总结，对研究经验的客观总结，向量的运算是一种一般的规律。

它并不是死板的，只有这几种，而是根据现实情况，可以主观建立的，但这种主观的建立一定要经得起实践的检验，比如格拉斯曼的向量理论中就规定了十几种的向量乘法运算。

向量的运算有非常非常多，都是根据特殊的要求，不同的研究任务而规定的，比如说向量的外积运算（或者说是向量的叉乘运算） ,对于向量叉乘运算的建立可以更好的帮助我们解决数学中两个向量之间方向关系和面积大小的问题，以及物理学中的力矩和角动量问题。

总而言之，这篇文章我想说的是，任何一种数学运算一定是有其合理性的，是不可被替代的，而我说要做的就是找出这种意义，也才能够更好的理解数学。