平均值不等式里的降维打击

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平均值不等式大家都非常熟悉，特别是算术平均值大于几何平均值，在高一基本不等式这一部分专门提到。推广到n元的一般情况，就是：

这四个平均值，从左到右依次是平方平均值、算术平均值、几何平均值、调和平均值。对于二元的情况证明很简单，现在推广到n元，这个式子包含三个不等式，而中间和右边这两个不等式是对称的，所以实际上就是证明两个不等式。

先证明左边这个：

这不就是柯西不等式吗？所以很容易证明。对于中间这个不等式，我用添项法来证明。我们知道：

这里实际上就是n项之后的项都取A，凑成项数为2的幂，这样就写成了上面的不等式，接下来要由这个式子推导出中间那个不等式成立。

这样中间这个不等式就证明了。接下来证明右边这个不等式，其实它和中间的不等式是对称的。只需令：

变量代换之后正是中间这个不等式。

接下来我就要开始进行降维打击了。刚才是对这三个不等式一个一个证明。其实只要构造一个函数就可以对三个不等式统一进行证明。

可以看到当r=2时，就是平方不等式，r=1时就是算术平均值，r=-1时就是调和平均值。还差一个几何平均值，这里要先证明一个极限：

也就是说这个函数在0处的极限就是几何平均值。现在证明这个极限成立。

于是让函数在0处的值等于极限，这样定义在实数域上的函数：

可知函数在整个实数域是连续的。只要我们知道了该函数在实数域非严格单调递增，就可以证明开始的不等式了。这个证明方法就是对该函数求导，证明导函数恒大于等于0。在这种降维打击下，可以看到开始的四个平均值都是函数在某个特殊点的值，这个函数是平均值更一般的形式，叫做幂平均函数。通过它还能创造更多的平均值。