有理数的无限循环小数表示和无理数的连分式表示

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关于无限循环小数就是分数，这是初中生就知道的内容，但是弄清楚为什么无限循环小数就是分数的人并不多，现在就来证明两个命题，在证明命题之前，先明确一下有理数的定义，用分数来定义有理数，这时候证明两个命题：

1、有理数都能表示成无限循环小数的形式（有限小数可看成0的循环）。

2、若一个数能表示成无限循环小数，则它是有理数。

两个命题互为逆命题。先来证明第一个。由于我用的分数定义的有理数，则有理数能表示成既约分数，设它为p/q, p是整数，q是正整数，我们用十进制小数表示它，本质上是做除法。

p是一个正整数，则 x 能用分数表示

既然证明了“若一个数能表示成无限循环小数，则它是有理数”这个命题，根据原命题与逆否命题等价，可以得到“无理数不能表示成无限循环小数”，也就是说，无理数只能表示成无限不循环小数，比如根号二= 1.31 …… ，小数位数字的变化完全没有规律，显得非常“无理”，“无理数”名称就是这样来的。关于无理数的连分式表示可能大部分同学在整个中学数学学习生涯中没有接触过连分式，但是在数学的发展历程中，很多数学家研究过连分式。很多同学没有专门学过连分式理论，但是可能遇见过关于连分式的习题，例如：

我们记这个数为 x ，则

我们能看到如果根号二用连分式表示，它看起来不再“无理”了，因为我完全能够推断出一直写下去是什么样的形式。如果一个数 a 表示成

序列 a0a1……完全确定了这个连分式，根号二的连分式表式相比无限不循环小数表示更能展现它的特征，毕竟用连分式表示我们能看出形式上的某些规律。

理论上讲任何无理数都能表示成连分式的形式，例如要表示成上式的形式，操作很简单，先把整数部分分离出来，然后小数部分倒过来，继续将整数部分分离出来，这样无限做下去，但连分式的表示不是唯一的，例如

看起来序列没什么规律可言，另一种写法

这样写又瞬间觉得很有规律了，下面是关于自然对数e:

序列是｛1,1,2,1,1,4,1,1,6…｝

黄金分割数用连分式表示就更有规律：

连分数本质上就是无穷级数，无穷级数在大学时数学分析会涉及到。这就是为什么一个数的连分式有多种写法，因为一个数的无穷级数有多种写法呀。