数学分析——黎曼函数的可导性

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黎曼函数在无理点处是否可导？

今天接着上一个视频来看这样一个问题，问黎曼函数在无理点处是否是可导的？大家可以思考一下，进入到解答。

首先先回顾一下黎曼函数长什么样子。首先fx这样定义，如果x是一个非零有理数，把它写成最减分数之后取它的分母是p，定义它的函数值是p分之一。如果x等于零，定义函数值是一。如果x是无理数，定义函数值是零。

这个是在上个视频中讲解过的，并且在上个视频中证明了黎曼函数在无理点处是连续的，就可以问了，这个函数在无理点处是否可导？看一下解答，答案是不可导。为什么？按照导数的定义进行验证。

·首先取定一个无理数x0，只需要证明如下一个极限不存在即可。这个是导数的定义，想证明一个极限不存在，只需要取两个子列去x0的子列，使得它们的函数值极限不同即可。

→第一个方面，如果取一列无理数y、i来趋于x0，知道这个案这样极限是零，简单计算就知道因为f、y、i和fx0的值都是零。

→另一方面，如果取一列有理数来逼近它，怎么来取？这样来取，首先把一个无理数总可以写成无限不循环小数的形式，也就是说在实际之下可以设x0是等于零点a1、a2，一直这样继续下去，也就是a1是它的十分位的数值，a2是百分位，以此类推。

另x1是这个函数在di位处的阶段，就把它的前a位取出来，并且把它作为一个有限小数，也就是x1等于零点a1、a2，点点点一直到ai，因为x1是一个有限小数，它是一个有理数，并且x1这个数列是可以逼近x0的。

首先因为x1是一个有限小数，知道x1的分母最多也就是十的x方，所以fxi的值根据里面函数定义一定是大于等于十的负x方的，这个大家可以思考一下。

另一方面，因为xi减x0的前这两个数的前a位小数点都是一样的，所以可以知道它们差的绝对值一定是不超过十的负x方的，从而知道这样一个函数的绝对值是大于等于一的。这个是对任意的i都成立的。综上就可以知道这样一个极限是不存在的，因为取了两个子列，第一个子列知道它的极限是零，而第二个子列这样的一个数的绝对值得，它是总是大于一等于一的，所以知道藜麦函数是不可倒的。

今天视频就讲解到这里，感谢大家的收看。