高中数学：每天五个知识点 – 第36天

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今天我们来学习立体几何中最后一个重要的角——二面角，它用来度量两个相交平面之间的“张开程度”。同时，我们也会总结一下传统方法求空间角的思路。

知识点 1：二面角及其平面角 (Dihedral Angle & its Plane Angle)

• 通俗解释： 想象一下打开的书本，两个封面（半平面）相交于书脊（棱）。这两个半平面形成的图形就叫做二面角。书脊就是二面角的棱，两个半平面就是二面角的面。我们要度量这个二面角“张开”的大小，就需要找一个代表性的角——二面角的平面角。
• 二面角的平面角的作法 (三垂线法基础)：
• 在二面角的棱 l 上任取一点 O。
• 在两个半平面 α 和 β 内，分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB (OA ⊂ α, OB ⊂ β, OA ⊥ l, OB ⊥ l)。
• 那么 ∠AOB 就是这个二面角的一个平面角。
• 二面角的大小就用它的平面角的大小 (0° 到 180° 之间) 来度量。
• ⭐ 关键： 平面角的两条边都必须垂直于二面角的棱。同一个二面角的所有平面角都相等。
• 生活例子： 打开的书本，书脊是棱。在书脊上一点，分别在两个封面上画垂直于书脊的线段，这两条线段形成的角就是当前书本开合角度的度量。墙面和地面形成的二面角，通常其平面角是90°（如果墙是垂直的）。

知识点 2：二面角的求法 (1) – 定义法

• 通俗解释： 就是严格按照平面角的定义来找角、算角。找到棱，在棱上找一个点，分别在两个面内作棱的垂线，然后解这两条垂线构成的三角形。
• ⭐ 步骤：
• 找棱： 确定二面角的棱 l。
• 找点： 在棱 l 上选取一个合适的点 O（通常是特殊点，比如垂足、中点等）。
• 作垂线： 分别在两个半平面 α, β 内过点 O 作棱 l 的垂线 OA, OB。
• 连接： 通常需要连接 A, B 两点，形成 △AOB。
• 解三角形： 在 △AOB 中，计算出 OA, OB, AB 的长度（可能需要借助其他辅助三角形）。
• 用余弦定理： 在 △AOB 中，用余弦定理计算 cos(∠AOB) = (OA² + OB² – AB²) / (2 * OA * OB)。
• 求角： 根据 cos(∠AOB) 的值确定 ∠AOB 的大小。注意判断是锐角还是钝角。
• 难点： 如何巧妙地作出（或找到）这两条垂直于棱的线 OA, OB，并计算它们的长度以及它们端点间的距离 AB。

知识点 3：二面角的求法 (2) – 三垂线定理及其逆定理

• 通俗解释： 这个定理是作二面角平面角或者证明线线垂直的有力工具。它描述了平面内一条直线、平面的一条斜线及其射影之间的垂直关系。
• 三垂线定理： 在平面 α 内的直线 a，如果平面 α 的一条斜线 l 在平面 α 上的射影 l’ 垂直于 直线 a，那么这条斜线 l 也垂直于 直线 a。
• 符号表示：若 P 为 l 上一点，PO ⊥ α 于 O，O ∈ l’，l’ ⊥ a，则 l ⊥ a。
• (简单记：射影垂直，则斜线垂直)
• 逆定理： 在平面 α 内的直线 a，如果平面 α 的一条斜线 l 垂直于 直线 a，那么它在平面 α 上的射影 l’ 也垂直于 直线 a。
• (简单记：斜线垂直，则射影垂直)
• ⭐ 应用 (作二面角平面角)： 设二面角 α-l-β。在面 α 内一点 P 向面 β 作垂线，垂足 O。过 O 作棱 l 的垂线，垂足 M。连接 PM。根据三垂线定理的逆定理（因为 PO⊥β，所以 PO⊥l），l ⊥ 平面 POM。所以 ∠PMO 就是二面角 α-l-β 的平面角。
• 生活例子： 一根斜靠在墙角的竹竿 l，它在地面的影子 l’ 如果垂直于墙角线 a，那么竹竿本身 l 也一定垂直于墙角线 a。

知识点 4：二面角的求法 (3) – 垂面法 (作棱的垂面)

• 通俗解释： 找一个平面，让它同时垂直于二面角的棱 l。这个垂面与二面角的两个半平面 α 和 β 的交线 OA 和 OB 所形成的角 ∠AOB，就直接是二面角的平面角。
• ⭐ 步骤：
• 找（或作）垂面： 找到或构造一个平面 γ，使得它垂直于二面角的棱 l (γ ⊥ l)。
• 找交线： 求这个垂面 γ 与两个半平面 α, β 的交线 OA (OA = γ ∩ α) 和 OB (OB = γ ∩ β)。
• 求角： 则 ∠AOB 就是所求二面角的平面角。计算方法同定义法。
• 优点： 思路清晰，找到垂面后作角比较直接。
• 难点： 如何找到或作出这个合适的垂面。

知识点 5：空间角的计算总结 (传统方法)

• 异面直线所成角 (0°< θ ≤ 90°)：
• 核心：平移 -> 转化为相交直线所成角。
• 方法：平移法构造三角形，解三角形（余弦定理）。
• 直线与平面所成角 (0° ≤ θ ≤ 90°)：
• 核心：找射影 -> 构成直角三角形。
• 方法：作垂线找射影，解直角三角形 (sinθ = 垂线段长 / 斜线段长)。
• 二面角 (0° ≤ θ ≤ 180°)：
• 核心：作（或找）平面角。
• 方法：定义法、三垂线定理(或逆定理)法、垂面法。最终都要归结为解三角形（通常用余弦定理）。
• ⭐ 关键： 无论是哪种角，最终的计算都离不开解三角形。熟练掌握勾股定理、余弦定理、三角函数定义是基础。找到合适的辅助线和辅助平面是关键步骤。空间向量法将提供更统一、代数化的计算途径。

练习题：

1. 在二面角 α-l-β 的棱 l 上取一点 P，分别在 α, β 内作射线 PA, PB。若 ∠APB = 60°，PA⊥l, PB与l成45°角。这个 ∠APB 是二面角的平面角吗？为什么？
2. 在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求二面角 A₁-BD-C 的平面角的余弦值。（提示：取BD中点O，连接A₁O, CO，∠A₁OC 即为所求）
3. （三垂线定理应用）如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面。求证：PC ⊥ CD。（提示：连接 AC。先证 CD ⊥ AC）
4. （垂面法思考）如何找到一个平面垂直于正方体的棱 CC₁？（例如，平面 ABCD，平面 A₁B₁C₁D₁，或者过对角线 BD 且垂直于 CC₁ 的平面）
5. 总结一下：求直线与平面所成角主要用到哪个三角函数？求二面角主要用到哪个定理？（sin；余弦定理）

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