吴正宪：建立整体结构——感悟数与运算的一致性

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老师们，大家好！

这一讲呢我们继续来聊聊数与运算的一致性。前边我们重点讲了数概念的一致性，运算的一致性。那么数和运算之间又有怎样的关联呢？如何来建立这种整体的结构，引导学生去感悟数与运算的一致性呢？

我们来看，数与运算是一个很大的主题，它包括三种不同数理的数，还包括四种运算。我们知道数概念的重点是在于理解数的意义，学生要经历由数量到数的抽象过程，理解和掌握数的概念，初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性来形成数感和符号意识。

数的运算呢？重点是在于理解算理，掌握算法。那么学生要经历算法到算理的探索过程，来感悟数与运算之间的密切关联，体会数与运算本质的一致性，来形成运算能力和推理意识。

教学中我们要注重沟通数与运算的关联，帮助学生感悟数与运算的一致性。关于数的概念，它的一致性第一讲我们谈过了，大家可以看屏幕。关于数运算的一致性，第2讲的时候我们也聊过了，请大家看屏幕。那么今天我们来看看，数、运算它们之间的关联。

我们知道加法运算是伴随着自然数的产生而应运而生。那么有了加法，一个一个的往前数，也可以看作一个一个单位的累加，就有了减法是加法的逆运算。有了加法我们又有了乘法，乘法呢，就是加法的简便运算。乘法就是在做加法，除法呢就是在做减法。15个桃子，5个一盘，5个一盘，减去五再减去五，再减去五再减去五，那减了几次呢？三次，所以可以放在三个盘子里，那么除法是乘法的逆运算。我们学习了乘法口诀，三五一十五，我们这时候就不需要1个五，1个五的减，我们直接用口诀。所以我们说除法就是在做减法，它也是减法的简便运算。那么在加减乘除中，核心一定是加，因为有了加法，我们推演出了减法、乘法，后来呢又推演出除法。所以以加法求和为核心的加减乘除的关系的结构就这样架构出来了。

大家请看，数与运算之间具有一致性，其实前面谈数的一致性，运算的一致性的时候，我们也自然的涉及到了数与运算之间的关联。那么今天呢，我们就以分数乘法这个单元为例，重点的来谈一谈它们之间的这样的一种联系。

分数乘法这个单元，有若干个知识点，多个知识点需要多课时来完成，那它的核心呢？它有没有聚焦核心概念的，这样的东西我们能不能提炼出来呢？它所培养的核心素养是什么呢？这是我们需要思考的问题，首先我们先从知识结构上来看，多个知识点我们可以通过沟通整合成四个知识点来进行教学，也就是说要沟通知识点之间的关联，以这样四个大的知识点来展开教学，那么分数乘法这个单元，我们一起来看一看。

第一课时：分数乘整数。

我们把整数乘分数也整合在这里，它是从哪开始学习的呢？整数除法，您看，每桶十二升，三桶水共多少升？12乘3，这是以前学习的旧知识，这是这个乘法算式的意义。为什么用乘法，求的是12的三倍，或者是3个12是多少？要是3又1/2桶有多少升呢？同理求12的3又1/2倍也用乘法。1/2桶，1/4桶呢？道理是一致的，大家看到这里是以倍统领，来体现了乘法意义的一致性。也就是说，这个算式为什么是一个整数乘分数呢？这个算式的意义是什么呢？我们再来看如何进行运算呢？12乘3又1/2，3又1/2倍我们可以看作是3与1/2整合的结果，合起来，那么分着算呢？12乘3，3个12，12乘1/2，12的二分之一倍，由此我们看到，这不就是原来我们学习的12乘14整数乘法运用到的算理吗？请看，乘14我们可以分别乘，10个十二，加上4个十二，同理都是运用了乘法分配律。乘法分配律是保证我们乘法运算的大法，大家看到这里又一次体会了整数乘法和分数乘法算式意义的一致性。

第二课时，我们看到是分数单位乘分数单位。

我们就以这个例题为例，1/2公顷的土地上，1/5种土豆，3/5种玉米，那么怎样求出土豆的面积和玉米的面积呢？求1/2公顷的1/5是多少？也就是求它的1/5倍，同样是用乘法解答。1/2的1/5怎样表示？1/2乘1/5为什么等于1/10呢？

我们看看孩子是怎样来解答的？画图，几何直观。这个长方形就是一公顷，找到它的1/2，一半，再找到1/2的1/5，绿色的阴影部分就是土豆的面积，问题的关键是这块面积与整个一公顷有怎样的关系呢？又是通过细分单位，不断地以1/2的1/5为一个标准，分呀分，我们清晰的看到红色的重阴影的部分与一公顷的关系是1：10的关系，也就是它占了整个一公顷的1/10，当然是1/10公顷喽。通过直观的图和算式相结合，同学们理解了单位乘单位。继续看，1/6乘1/7，这个结果是怎样的呢？直观的图，找到一张纸的1/6，六条中的一条，再在这一条中找到它的1/7，分数的意义孩子们都知道，七份中的一份，绿色的部分就是我们要得到的结果，直观的几何图形让我们看到它与整个大一的关系是1：42的关系，即1/42。

我们再打开一个天窗，从推理的角度来讨论一下，为什么是得1/42呢？请看，第一个等式推出来的是什么，从单位的角度，一个1/6乘一个1/7。第二个等式，根据乘法的交换律、结合律，我们得到了是一个1/42，1/6乘1/7，分母与分母相乘，获得了新的分数单位，分子与分子相乘，获得了分数单位的个数，最终要回答的是一个1/42即1/42，当然像单位乘单位啊，老师们还可以让孩子们做一些自己命题，自己通过几何直观的图和算式相结合来讨论，您看这里就是孩子们的作品，1/10乘1/10啊，他马上得到了1/100，我们就是这样从直观图形到抽象的算式，在推理中又一次感悟到了分数单位这个核心的概念在运算中的重要的作用。分数单位乘分数单位，我们回头看，整数10乘100，小数0.1乘0.01，分数1/10乘1/100，道理是一样的，第一个等式的推导，横着看下去，都是对多少个单位的表达，第二个等式的推导我们看到了都利用了乘法的交换结合律，最终红色的方框所圈的部分回答的都是几个这样的单位。

老师们，整数乘法，小数乘法，分数乘法，单位乘单位它的核心的概念都是以计数单位为核心，都是计数单位在这里起到了重要的作用，沟通了整数运算，小数运算，分数运算的关联。同样的道理，当分数乘分数的时候，道理是一样的。

1/2的3/5是多少呢？我们来看，还是通过几何直观，找到1/2，再找到1/2的3/5，一目了然，这三份与整个大一是3：10的关系，因此结果是3/10公顷。

再打开一扇窗，我们从推理的角度来看看，1/2乘3/5，第一个算式，依然是从单位的角度推出来，一个1/2乘三个3/5，再通过乘法的交换结合律，我们得到了有三个1/10，即3/10。那么在直观的操作中，在抽象的算式的推理中，孩子们逐步的认识到分母乘分母产生了新单位，分子乘分子，得到了单位的个数，这样的一种感悟，正是学生亲自参与学习活动的过程当中所获得的，那么在直观的操作中，我们如何让学生自己去感悟和体验呢？课堂里我们让学生自己命题，小组讨论。比如第一题，3/4乘4/7就是孩子们提出来的，有的孩子马上得到结果3/7，他说我约分了。老师们，此时我们能不能提出这样的要求，这节课，甚至这几节课都不约分，不约分是为了什么，是为了寻求算理的路径，要让他充实，要让他有话可说，这个推理的过程很重要，因为最后的结果是分子乘分子，分母乘分母，如果你当时约了分，我们找不到4乘7分母是28，也找不到3乘4分子是12，因此我们在这里不约分，慢下来注重推理的过程，3个1/4乘4个1/7，又通过乘法的交换结合律我们得到了12个1/28，回答的依然是有多少个单位。第二题同理，孩子们自己出题，他出到了5/10乘2/3，最终他看到了是分子与分子相乘，分母与分母相乘，不要过早的约分，约分你就不好去发现它们之间的关系，你就不好找到算法的路径，那么在这样的运算中，孩子们还回过头去看分数乘整数，有的学生说整数不也是一份之几的分数吗？

千条江河归大海，我们看到了同样可以用分子乘分子做新分子，分母乘分母做新分母来概括它们的法则。沟通了不同样态的分数乘法之间的关联。概括法则的过程就是抽象的过程，就是数学思考的过程，我们回头看，分数乘法的法则，我们获得了那么整数乘法，小数乘法与分数乘法有关系吗？

当回头看的时候，特别是老师在分数乘法学过之后，我觉得要帮助学生建立一点关联。20乘30，0.2乘0.3，同样的道理都是要从单位的角度来认识数的概念，又通过乘法的交换结合律推导出来最终的结果是单位是谁有这样的几个？整数乘法6个100，小数乘法6个0.01，分数乘法6个1/15，大家清晰的看到又是计数单位，计数单位的个数，所有的运算都是单位的操作，大道至简。最终要回答的就是单位是谁？有几个？由此我们可以看到，在这样的学习过程当中经过探索、推理，孩子们获得了数的运算及“单位个数的运算”，感悟到计数单位，理解了数的运算的本质，感悟到了分数的概念，与分数运算的一致性、关联性，建立了它们的整体结构。

如果分数的概念你不能打开一扇窗，从计数单位的角度来理解分数的意义，那么到了分数的运算，他就差了半口气，所以知识是相关的，相连的，由此也看到了“数”与“运算”的紧密相连。那么接下来呢，我们怎么去体会数与运算它的紧密相连，怎么去感悟以计数单位为核心来理解数的运算呢？

好，我呢请大家看这样一个片段，就是我曾经在六年级和孩子们做的复习课，大家看一看最后的这两三分钟的教学片段（小数的意义）老师们，刚才大家看到了这个过程，所有的加减乘除运算，都与单位息息相关，那么建好“承重墙”，以“计数单位”为核心，统领加减乘除的运算，这就是数学的本质。同时呢，我们还要打通“隔断墙”，沟通“数概念”与“数运算”的内在的关联，也就是将这些知识建立起结构化、整体化的一种知识之间的关联。那么建构“大单元”的这种教学，我们就是在沟通、关联中来深刻的理解数学本质的。刚才大家看到算理就是由数的概念、运算定律，运算性质等元素构成。那么算法呢？它就是四则运算的基本的程序和方法。

通过我们对运算定律的理解，它为我们算理的理解做了重要的支撑和依据，那么通过对算理的理解，我们找到了这样的依据，不断的探索算法，让它更可操作，把理化成法来解决问题，老师们这三讲从数概念的一致性到数运算的一致性到数与运算的一致性，它们之间的关联。我们看到了这个大主题真的太大了，从一年级辐射到了六年级，从三个不同数据的数辐射到了四种不同的运算，正是数与运算这个主题学习知识的结构彰显了数学知识间的丰富的联系，少量的主题多知识点的覆盖，深度的覆盖，以学习主题统领，建立了整体的知识结构，我们认为这样的主题学习不仅能更长久的保存信息，还能帮助学生更深度的理解概念，促进学习能力的提升，最终落实核心素养。

老师们我就讲到这里，谢谢大家！

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