二叉树（Binary Tree）

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二叉树（Binary Tree）是一种树形数据结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树是许多高级数据结构（如二叉搜索树、堆、AVL树等）的基础。

二叉树的特点

1. 节点结构：

• 每个节点包含：
• 数据域（存储数据）。
• 左子节点指针。
• 右子节点指针。

2. 基本性质：

• 每个节点最多有两个子节点。
• 左子节点和右子节点是有序的，不能随意交换。

3. 特殊类型：

• 满二叉树：每个节点都有 0 或 2 个子节点。
• 完全二叉树：除了最后一层，其他层都是满的，且最后一层的节点尽量靠左。
• 二叉搜索树（BST）：左子树的值小于根节点，右子树的值大于根节点。
• 平衡二叉树：左右子树的高度差不超过 1（如 AVL 树、红黑树）。

二叉树的遍历

二叉树的遍历是指按照某种顺序访问树中的所有节点。常见的遍历方式有：

1. 前序遍历（Preorder Traversal）：

• 访问顺序：根节点 → 左子树 → 右子树。
• 应用：复制二叉树、表达式树的前缀表示。

2. 中序遍历（Inorder Traversal）：

• 访问顺序：左子树 → 根节点 → 右子树。
• 应用：二叉搜索树的中序遍历结果是升序序列。

3. 后序遍历（Postorder Traversal）：

• 访问顺序：左子树 → 右子树 → 根节点。
• 应用：删除二叉树、表达式树的后缀表示。

4. 层序遍历（Level Order Traversal）：

• 按层次从上到下、从左到右访问节点。
• 应用：计算二叉树的高度、宽度等。

二叉树的实现

以下是C语言实现二叉树的代码，包括节点的创建、插入和遍历操作：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 定义二叉树节点结构 typedef struct Node { int data; // 节点数据 struct Node *left; // 左子节点指针 struct Node *right; // 右子节点指针 } Node; // 创建新节点 Node *createNode(int data) { Node *newNode = (Node *)malloc(sizeof(Node)); if (newNode == NULL) { printf("内存分配失败！\n"); exit(1); } newNode->data = data; newNode->left = NULL; newNode->right = NULL; return newNode; } // 插入节点（简单示例，非二叉搜索树） void insertNode(Node root, int data) { if (*root == NULL) { *root = createNode(data); } else { // 简单示例：交替插入左右子树 if ((*root)->left == NULL) { insertNode(&((*root)->left), data); } else { insertNode(&((*root)->right), data); } } } // 前序遍历 void preorderTraversal(Node *root) { if (root == NULL) { return; } printf("%d ", root->data); // 访问根节点 preorderTraversal(root->left); // 遍历左子树 preorderTraversal(root->right); // 遍历右子树 } // 中序遍历 void inorderTraversal(Node *root) { if (root == NULL) { return; } inorderTraversal(root->left); // 遍历左子树 printf("%d ", root->data); // 访问根节点 inorderTraversal(root->right); // 遍历右子树 } // 后序遍历 void postorderTraversal(Node *root) { if (root == NULL) { return; } postorderTraversal(root->left); // 遍历左子树 postorderTraversal(root->right); // 遍历右子树 printf("%d ", root->data); // 访问根节点 } // 层序遍历（使用队列） void levelOrderTraversal(Node *root) { if (root == NULL) { return; } // 创建队列 Node *queue[100]; // 假设队列最大容量为100 int front = 0, rear = 0; queue[rear++] = root; // 根节点入队 while (front < rear) { Node *current = queue[front++]; // 出队 printf("%d ", current->data); // 访问当前节点 // 左子节点入队 if (current->left != NULL) { queue[rear++] = current->left; } // 右子节点入队 if (current->right != NULL) { queue[rear++] = current->right; } } } // 释放二叉树内存 void freeTree(Node *root) { if (root == NULL) { return; } freeTree(root->left); // 释放左子树 freeTree(root->right); // 释放右子树 free(root); // 释放当前节点 } int main() { Node *root = NULL; // 插入节点 insertNode(&root, 1); insertNode(&root, 2); insertNode(&root, 3); insertNode(&root, 4); insertNode(&root, 5); // 遍历二叉树 printf("前序遍历："); preorderTraversal(root); printf("\n"); printf("中序遍历："); inorderTraversal(root); printf("\n"); printf("后序遍历："); postorderTraversal(root); printf("\n"); printf("层序遍历："); levelOrderTraversal(root); printf("\n"); // 释放二叉树内存 freeTree(root); return 0; }

代码说明

1. createNode 函数：

• 创建一个新节点并返回。

2. insertNode 函数：

• 在二叉树中插入新节点（简单示例，非二叉搜索树）。

3. 遍历函数：

• preorderTraversal：前序遍历。
• inorderTraversal：中序遍历。
• postorderTraversal：后序遍历。
• levelOrderTraversal：层序遍历（使用队列实现）。

4. freeTree 函数：

• 递归释放二叉树的内存。

5. 主函数：

• 创建二叉树并插入节点。
• 遍历二叉树并输出结果。
• 释放二叉树内存。

示例输出

前序遍历：1 2 4 5 3 中序遍历：4 2 5 1 3 后序遍历：4 5 2 3 1 层序遍历：1 2 3 4 5 

总结

• 二叉树是一种基础且重要的数据结构，广泛应用于算法和程序设计中。
• 通过递归可以轻松实现二叉树的遍历和操作。
• 二叉树的变种（如二叉搜索树、平衡二叉树）在实际应用中非常有用。

通过实现二叉树，可以更好地理解树形数据结构的原理和应用！