周期函数的和还是周期函数吗？

问：周期函数的和函数还是周期函数吗？

例如对于函数
：

• 当
  
  是
  有理数时，设
  
  ，容易验证
  
  是其周期；
  
• 当
  
  是
  无理数时，
  
  还存在周期吗？
  
• 设
  
  是周期函数，正周期分别为
  
  ，
  
  的周期性呢？
  

图1：大致的趋势呈周期性，但细看之下又不尽相同。

我们尤其对于
是连续函数的情形感兴趣。

连续性

连续性之于微积分犹如基石一般。刘慈欣在科幻小说《三体》中对于“水滴”（三体文明制造的宇宙探测器）的描写我认为是对连续性很生动的体现：

探测器的大小与预想的差不多，长三点五米，丁仪看到它时，产生了与其他人一样的印象：一滴水银。探测器呈完美的水滴形状，头部浑圆，尾部很尖，表面是极其光滑的全反射镜面，银河系在它的表面映成一片流畅的光纹，使得这滴水银看上去纯洁而唯美。它的液滴外形是那么栩栩如生，以至于观察者有时真以为它就是液态的，根本不可能有内部机械结构。

……一千万倍！在这个放大倍数下，已经可以看到大分子了，但屏幕上显示的仍是光滑镜面，看不到一点儿粗糙的迹象，其光洁度与周围没有被放大的表面没什么区别。

连续性就像使用拿显微镜不断扩大倍数检验水滴表面的过程：

定义（连续性）

设函数
. 我们称函数
在
处连续，若满足以下性质：对任意
，存在
，若
，则
所谓连续函数，是指在定义域的每一点都连续。

就好像是人类对水滴表面紧密程度的预期，而
则是显微镜所需要达到的微观尺度，真正的连续则是一个永无止境的检验过程。而非连续则一定止步于某一步——发现其断崖。

一个很自然的结论就是——

当函数在
处连续，则

即当函数自变量趋于点
，则函数值趋于点
处的函数值。

常数函数的判定方法

设
是周期函数，正周期分别为
. 注意最小正周期可能不存在，例如Dirichlet函数：

容易验证任意有理数都是
的周期。不过非常值连续函数一定有最小正周期[4]。

首先我们证明一个基本结论，这个结论可以帮助我们通过周期性来判定常数函数。先是一个引理——

引理0
若
都是
的周期，则
是
的周期。

证略。

反复利用上面的该引理，运用辗转相除法，可以求出
更小的正周期，当
时，即两周期公度，这个过程将在有限步骤结束。

辗转相除法，就是对给定的两个数进行带余除法，将得到的余数作为新的除数，原来的除数作为被除数，反复进行以上步骤。通常是用来求两个整数的最小公倍数。

例如，给定

最后一个非零余数就是最小公倍数，即

辗转相除法

 R语言
#q与r是整数，q >= r
while(r != 0)
{
 t = q%%r 
 q = r
 r = t #带余除法的余数
}
q #此为最终结果

如果这个过程可以无限进行下去，即
（非公度），那么新周期会不断下降趋于零。这是因为带余除法总是满足余数
比除数
小，于是则分两种情况：

• 若
  
  ，于是余数相较除数下降一半（此余数将是下一轮带余除法的除数）；
  
• 若
  
  ，则再次进行辗转相除时，得到
  
  ，而
  
  ，于是仍是对半。
  

综上可以判断，
，其极限显然是零：

定理1
若
都是连续函数
的周期，且两者周期非公度，则
是常数函数。

证： 通过上面分析，我们总可以得到充分小的周期
反证法。不妨设
，若
，则构造

根据确界原理（有上界必有上确界）可知其极限存在性，
. （否则，我们可以选择添加更小的
来逼近
）。于是有

但是这与函数的连续性矛盾：

于是
只能是常数函数。

周期函数的和函数

接下来我们去探究函数
的周期性。

命题2
如果两者周期之比
，则
是周期函数。

证：设最简整数比
，即
，于是
就是
的周期。

如果
，即两者之比是一个无理数，那么我们就可以说
是非周期函数吗？

命题3
设
是非常数的连续周期函数，如果两者周期之比
，则
（以及其倍数）不是
的周期。

证： 否则
，即

这说明
有两个周期，且两者非公度，则由定理1可知
是常数函数，矛盾。同理可以证明
也不是
的周期。

定理4
设
是连续周期函数，如果两者周期之比
，则
存在拟周期：
，存在常数
，满足

证： 我们考虑
的拟周期。取有理数列逼近
：

蕴含：
, 当
时，有

其中
. 令
（或者
），我们称之为
的拟周期，这是因为

其中<embed style=”vertical-align: -0.872ex;width: 22.843ex;height: auto;” src=”https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/0T8yO33zeejz4kSpGb7aq3EQw6lLfAndsea8oTzMhIQnpt2uUTfvpWlfnzvvoo0KmVmyNEx08tA2WtRLCaiaKsoOb0A5TDcibu/0?wx_fmt=svg” data-type=”svg+xml”>

这个定理反应了图1的现象。

引理5
两周期函数至少一个连续、一个有界，若两最小正周期不可公度，则两函数的和不是周期函数。[1]

证： 简述一下证明思路。反证法，假设存在周期：

移项得到

由
的构造可知它有两个不可公度的周期，分别是
，利用定理1的技巧，可以证明
是常数函数，即

可得

不妨设
有界，那么只可能
，即
，这
与不可公度相矛盾。

例6

是非周期函数，其中
是无理数。[2]

利用上面的结论立即可知其成立。事实上这个函数的非周期性证明还有比较初等的方法：反证法。若存在周期
，即

移项（这个技巧在刚才的证明已经出现过了），

再利用和差化积公式：

再进行平移变换
，

我们令
，上式左边为0，右边由
的无理性则不为0，矛盾。

定理7 两周期函数至少一个连续，且两函数之积在任何点处非零，若两最小正周期不可公度，则两函数的积不是周期函数。[3]

证明思路同定理5。需要构造函数

然后证明这个函数

参考文献

[1] 谢惠民, 沐定夷. 吉米多维奇数学分析习题集学习指引[M]. 高等教育出版社, 2011.

[2] 汪林. 数学分析中的问题和反例[M]. 高等教育出版社, 2015.

[3] 赵显曾. 数学分析拾遗[M]. 东南大学出版社, 2006.

[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法.第2版[M]. 高等教育出版社, 2006.