第二百七十五夜：狄利克雷函数

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今日带来的是“狄利克雷函数”，一个定义在实数范围内，值域不连续的函数。狄利克雷函数并非天外来物，它的基本性质——奇偶性、周期性、值域等早已是高考的座上宾。

狄利克雷函数是高等数学的内容，它的确很奇怪：处处不连续、处处不可导、黎曼不可积，但却是可测函数。高考是大学教授命题，不渗透点高等数学的知识，怎么能检测你是否具备深造的资质。当然，这里的渗透并非强行介入，而是以此为背景，考查的对象依旧是高中的内容。给出这样一个吓人的名字，无非是劝退那些没有勇气的胆小鬼。

勇气来自哪里？

是夜郎自大，还是目中无人？是目空一切，还是唯我独尊？想必都不是，你要的是百折不挠、勇猛精进。好，我们开始：

本题是一道有意思的题，但却不是一道难题。多选嘛，依次逐一判断即可。判对，严格推理证明；判误，只需一个反例。

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷，十分冗长而拗口的名字，这在个人看来。他是德国数学家，对数论、数学分析和物理学都有突出贡献，是解析数论的创始人。狄利克雷函数如同他的名字一般古怪，因此，高等数学中有一个专门的符号来表示：

该函数的自变量是有理数与无理数参杂，函数值是0和1交替。因此，我们无法绘制它的图像，也就无法直观窥视它的芳容。如果非要一睹为快，在宏观角度下，就是上图那样。但这并非它的真实面目，因为这两条直线不是连续的，而是充满了许多小洞。换言之，就是函数值永远在0和1之间来回波动，所以不存在极限。

狄利克雷函数的出现，打破了以往数学家研究具体函数的常规，数学家对数学的理解发生了深刻变化。数学的一些人造特征开始展现出来，这种思想标志着数学从研究运算转到研究概念和性质上。因此，狄利克雷被誉为数学史上第一位重视概念的人。

运算不牢，地动山摇。概念不牢，虚无缥缈。