6 线性代数基础

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接下来再来聊聊线性代数的一些基本知识。个人认为线性代数在计算机数学中较高数应用更普遍，但应该不如概率统计权重大。

行列式

对于下述二元线性方程组：

求解：

当方程组有唯一解：

规律：

上述方程组的系数组成一个方阵，主副对角线如下：

于是推导出，行列式的定义。如下，行列式是一个值，是对角线乘积的差。

二阶行列式的计算公式。表达式如下：

其中：

称为元素，i代表行标，j代表列标。

推广到三阶行列式：

=

上述公式中，为正的算式都是主对角线方向上的元素组成的多项式。

为负的算式都是副对角线方向上的元素组成的多项式。

例：行列式计算：

1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)=-4-6+32-4-8-24=-14

矩阵与行列式的关系

矩阵即数据，对矩阵的操作就是对数据进行操作。

例：A、B、C、D四座城市之间通行关系。如下图所示。

将上图转化成表格：

将上表用数值表示，通使用1，不通用0。

行列式、矩形的区别

行列式：

• 行数等于列数，共有n^2个元素。
• 本质上行列式就是一个数。

矩阵：

行数不一定等于列数，共有m×n个元素。本质上就是一个数表。与关系型数据模型的表有相同的含义。

矩阵

对于任意的输入数据都可以组成一个矩阵。对矩阵中的数据的任何操作都是矩阵的操作。操作都是对矩阵中全部元素进行操作。用程序实现也不需要使用双重for循环对每个元素进行处理。

如下面的一个数表：

转换为矩阵为：

1）矩阵的组成

矩阵由行和列组成。

矩阵的单独一行、或者一列分别称为：行向量、列向量。

行向量

列向量

2）特殊矩阵

方阵

行、列数相同的矩阵，一般称为n阶方阵。

上三角阵

对角线以下均为0，上三角阵必须是方阵。

下三角阵

对角线以上均为0，下三角阵必须是方阵。

对角阵

只有对角线上的数不为0。

单位阵

对角线上的数字均为1。

3）同型矩阵

同型矩阵与矩阵相等是一回事吗？

两个矩阵行列数相同的时候称为同型矩阵。在同型的前提下，并且各个元素都相等，则这两个矩阵相等。

和是同型矩阵。

如果

则两个矩阵相等，相等的前提是两个矩阵一定是同型矩阵。

4）矩阵基本运算

有两个m×n的矩阵两者必须同型。

加减法

数乘

所谓数乘，就是常数λ与矩阵A的乘积。

矩阵乘法

矩阵乘法的含义：

矩阵A为两大集团手机的销量，矩阵B表示手机的价格。

A与B相乘代表两大集团手机收入。

A矩阵的列数与B矩阵的行数相同。

矩阵乘法的运算律：

• 矩阵乘法不存在交换律。
• 结合律1：(AB)C=A(BC)
• 结合律2：λ(AB)=(λA)B=A(λB)
• 分配律1：A(B+C)=AB=AC
• 分配律2：(B+C)A=BA+CA

上述运算律需要注意顺序。

5）矩阵在方程组中的意义

方程：A为系数矩阵，X是未知数阵，B是常数矩阵。

AX=B

6）矩阵转置

转置的性质：

推广：

7）对称矩阵

以对角线为轴，各元素之间的关系。

例：

8）逆矩阵

A为n阶方阵，如果存在n阶方阵。如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位阵），则记作：

逆的性质：

可逆的前提：A、B为n阶方阵。

9）矩阵的秩

对于一个S*N的矩阵：

矩阵A的每一行可以看做一个N维向量：

叫做A的行向量。

矩阵A的每一列可以看做一个S维向量：

叫做A的列向量。

例：

求其极大线性无关组。

解：假设： 则：

解得：

即

0向量与任何向量均有关。

秩：表示矩阵中最大无关组。

有关：其中一个向量能被另外向量经过代数变换表示处理。

无关：向量之间无法互相表示

秩的特性：行秩=列秩

如上述矩阵：

线性相关，但线性无关，所以列向量组

的秩也为3。正验证“行秩=列秩”。