高中数学：每天五个知识点 – 第62天

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昨天我们学习了用“期望”来描述随机变量取值的平均水平。但是光知道平均水平还不够，我们还需要了解数据围绕平均水平的波动程度或离散程度。这就是今天要学习的方差。

知识点 1：离散型随机变量的方差 – 定义 (Variance of a Discrete Random Variable – Definition)

• 通俗解释： 方差衡量的是随机变量 X 的取值与其期望 E(X) 偏离程度的平均值。具体来说，是计算每个可能取值 xᵢ 与期望 E(X) 之差的平方，再以各自的概率 pᵢ 为权重进行加权平均。方差越大，表示随机变量的取值越分散，波动越大，风险越高；方差越小，表示取值越集中在期望附近，波动越小。
• 定义： 若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X=xᵢ)=pᵢ，其期望为 E(X)，则称 D(X) = Var(X) = Σ [xᵢ – E(X)]² * pᵢ 为随机变量 X 的方差 (Variance)。
• 即：D(X) = [x₁ – E(X)]²p₁ + [x₂ – E(X)]²p₂ + … + [x_n – E(X)]²p_n
• 标准差 (Standard Deviation): 方差的算术平方根 σ(X) = √D(X) 称为 X 的标准差。它的单位与随机变量 X 的单位相同，更便于解释。
• 生活例子： 投资项目 A 和 B 的期望收益率可能相同，但如果 A 的收益率方差很大（可能大赚也可能大亏），而 B 的方差很小（收益稳定在期望附近），那么风险承受能力不同的人会选择不同的项目。

知识点 2：方差的计算公式 (Alternative Formula for Variance)

• 通俗解释： 按照定义计算方差有时候比较繁琐，需要先算期望，再算差的平方，再加权平均。有一个更方便的计算公式：方差等于平方的期望减去期望的平方。
• 计算公式：
• D(X) = E(X²) – [E(X)]²
• 其中 E(X²) = Σ xᵢ² * pᵢ 是 X 的平方的期望（先把每个取值平方，再按概率加权平均）。
• 步骤：
• 计算期望 E(X) = Σ xᵢpᵢ。
• 计算 X² 的期望 E(X²) = Σ xᵢ²pᵢ。
• 计算 D(X) = E(X²) – [E(X)]²。
• 计算例题 (续 Day 61 例题 1)： 掷均匀四面体骰子 (点数1, 2, 3, 4)，X 为点数。求 D(X)。
• 答： E(X) = 2.5 (已算)。
• 计算 E(X²)：
• E(X²) = 1²*(1/4) + 2²*(1/4) + 3²*(1/4) + 4²*(1/4)
• = (1 + 4 + 9 + 16) / 4 = 30 / 4 = 7.5。
• 计算方差：
• D(X) = E(X²) – [E(X)]² = 7.5 – (2.5)² = 7.5 – 6.25 = 1.25。
• 标准差 σ(X) = √1.25 = √(5/4) = √5 / 2。

知识点 3：方差的性质 (Properties of Variance)

• 通俗解释： 方差的计算也有一些规律可循。
• 重要性质： 设 X 为随机变量，a, b, c 为常数。
• D(c) = 0：常数的方差为 0。(常数没有波动)
• D(aX) = a²D(X)：常数因子要平方后提出。(如果每个结果都乘以 a 倍，波动程度是原来的 a² 倍)
• D(X + b) = D(X)：加上一个常数不改变方差。(整体平移不影响数据的离散程度)
• D(aX + b) = a²D(X)：线性变换的方差，由 1, 2, 3 可推导。(这是最常用的性质)
• 若 X 与 Y 相互独立，则 D(X + Y) = D(X) + D(Y) 以及 D(X – Y) = D(X) + D(Y)。（注意：这里是加号！独立变量和或差的方差等于方差之和）
• 生活例子 (性质4)： 摄氏温度 X 的方差 D(X)=4 (单位是摄氏度的平方)。华氏温度 Y = (9/5)X + 32。那么华氏温度的方差 D(Y) = D((9/5)X + 32) = (9/5)² * D(X) = (81/25) * 4 = 324 / 25 = 12.96 (单位是华氏度的平方)。

知识点 4：两点分布（0-1分布）的方差 (Variance of Bernoulli Distribution)

• 通俗解释： 只进行一次试验，成功概率 p (X=1)，失败概率 1-p (X=0)。这样简单的随机变量，它的波动大小（方差）是多少？
• 计算： E(X) = p。
• E(X²) = 0² * (1-p) + 1² * p = 0 + p = p。
• D(X) = E(X²) – [E(X)]² = p – p² = p(1 – p)。
• ⭐ 结论： 服从参数为 p 的两点分布的随机变量 X，其方差 D(X) = p(1 – p)。
• 特性： 当 p=0.5 时，方差最大，等于 0.25 (波动最大)；当 p 接近 0 或 1 时，方差最小，接近 0 (波动最小，结果很确定)。

知识点 5：二项分布的方差 (Variance of Binomial Distribution)

• 通俗解释： 进行 n 次独立重复试验，每次成功概率 p。成功次数 X 的波动程度（方差）是多少呢？
• 重要结论： 若随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，即 X ~ B(n, p)，则其方差为：
• D(X) = np(1 – p)
• 理解： 二项分布可以看作 n 个独立同分布的两点分布之和。根据方差的可加性（对独立变量），D(X) = D(X₁+…+X_n) = D(X₁) + … + D(X_n) (其中 Xᵢ 服从参数 p 的两点分布)。因为有 n 项，且 D(Xᵢ) = p(1-p)，所以总方差是 n * p(1-p)。
• 计算例题 (续 Day 61 例题 5)： 某篮球运动员罚球命中率 0.7，罚球 4 次，X 为命中次数。求 X 的方差 D(X)。
• 答： X ~ B(4, 0.7)。所以 n=4, p=0.7, 1-p=0.3。
• D(X) = np(1 – p) = 4 * 0.7 * 0.3 = 2.8 * 0.3 = 0.84。
• 标准差 σ(X) = √0.84 = √(84/100) = √84 / 10 = 2√21 / 10。

练习题：

1. 接第 61 天练习题 1，求随机变量 Y 的方差 D(Y)。(Y取-1,0,1,2，概率0.1,0.3,0.4,0.2。E(Y)=0.7)
2. 设随机变量 Z 的方差 D(Z) = 2。求 D(-2Z + 3)。
3. 抛掷一枚均匀硬币，令 X=1 表示正面，X=0 表示反面。求 D(X)。
4. 已知随机变量 X ~ B(10, 0.2)。求 E(X) 和 D(X)。
5. 独立重复进行一项试验 100 次，每次成功的概率是 p。成功次数 X 的方差什么时候最大？最大值是多少？ (p=0.5 时最大，最大方差 1000.50.5=25)

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