高中数学：每天五个知识点 – 第59天

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昨天我们学习了如何用分布列来描述离散型随机变量的概率规律。今天，我们想用更简洁的数字来概括它的特征：它的取值大概“期望”在什么水平？它的取值波动有多大？这就是期望和方差要告诉我们的。

知识点 1：离散型随机变量的期望 (Expectation) – 定义与计算

• 通俗解释： 期望（或叫均值 Mean）可以理解为一个离散型随机变量 X 在大量重复试验中，平均可能取到的值。它就像是随机变量取值的“加权平均数”，权重就是每个值对应的概率。它反映了随机变量取值的中心位置或平均水平。
• 定义： 设离散型随机变量 X 的分布列为：
  | X=xᵢ | x₁ | x₂ | … | x_n |
  | :— | :— | :— | :— | :— |
  | P(X=xᵢ) | p₁ | p₂ | … | p_n |
  则 X 的
  
  
  
  数学期望 (Mathematical Expectation)，记作 E(X) 或 μ，定义为：
• E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_n p_n = Σ xᵢpᵢ
• (记忆：每个取值乘以它对应的概率，然后求和。)
• 性质：
• E(C) = C (C 为常数)
• E(aX + b) = aE(X) + b (a, b 为常数)
• 生活例子： 玩一个游戏，有 1/3 的概率赢 10 元，有 2/3 的概率输 5 元（即得 -5 元）。那么玩一次的期望收益 E(X) = 10*(1/3) + (-5)*(2/3) = 10/3 – 10/3 = 0 元。说明长期玩下去，平均不赚不赔。彩票的期望值通常是负的。
• 计算例题： 求知识点2例题中抛硬币两次出现正面次数 X 的期望 E(X)。
• 分布列为：
  | X=k | 0 | 1 | 2 |
  | :– | :– | :– | :– |
  | P | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
  
  
  
• 答： E(X) = 0*(1/4) + 1*(1/2) + 2*(1/4) = 0 + 1/2 + 2/4 = 1/2 + 1/2 = 1。
• (直观理解：抛两次硬币，平均期望出现 1 次正面。)

知识点 2：两点分布与二项分布的期望 (Expectation of Bernoulli & Binomial Distribution)

• 通俗解释： 对于常见的两点分布和二项分布，它们的期望有非常简洁的计算公式！
• 公式：
• 两点分布 (X ~ B(1, p)): E(X) = 1*p + 0*(1-p) = p。(期望就是成功的概率)
• 二项分布 (X ~ B(n, p)): E(X) = np。(期望等于试验次数乘以每次成功的概率)
• 推导 (二项分布)： 虽然可以用定义 Σ k * C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) 证明，但超出了高中范围。可以直观理解：做 n 次独立试验，每次成功概率是 p，那么平均成功的次数自然就是 n*p。
• 计算例题 1： 检查一件产品是否合格，合格概率为 0.98。设 X=1 表示合格，X=0 表示不合格。求 E(X)。
• 答： X 服从两点分布，p=0.98。E(X) = p = 0.98。
• 计算例题 2： 某射手进行 10 次独立射击，每次命中率为 0.7。求命中次数 X 的期望。
• 答： X ~ B(10, 0.7)。E(X) = np = 10 * 0.7 = 7。(平均期望命中 7 次)

知识点 3：离散型随机变量的方差 (Variance) – 定义与计算

• 通俗解释： 方差是用来衡量随机变量 X 的取值偏离其期望 E(X) 的平均程度。它表示的是 (X – E(X))² 这个量的期望值。方差越大，说明 X 的取值越分散，波动越大；方差越小，说明 X 的取值越集中在期望附近，波动越小。
• 定义： 设离散型随机变量 X 的期望为 E(X)=μ，其方差 (Variance)，记作 D(X) 或 Var(X) 或 σ²，定义为：
• D(X) = E[(X – E(X))²] = E[(X – μ)²]
• 计算公式 (用分布列)：
• D(X) = (x₁ – μ)²p₁ + (x₂ – μ)²p₂ + … + (x_n – μ)²p_n = Σ (xᵢ – μ)²pᵢ
• ⭐ 另一个常用计算公式 (更方便)：
• D(X) = E(X²) – [E(X)]²
• 其中 E(X²) = x₁²p₁ + x₂²p₂ + … + x_n²p_n = Σ xᵢ²pᵢ (先平方再求期望)。
• (记忆：平方的期望 减去 期望的平方)
• 性质：
• D(C) = 0 (C 为常数)
• D(aX + b) = a²D(X) (a, b 为常数) (注意是 a 的平方！)
• 标准差 (Standard Deviation)： σ = √D(X)。单位与 X 相同。
• 计算例题： 求知识点1例题中 X 的方差 D(X)。
• 分布列: P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4。已知 E(X)=μ=1。
• 答 (方法一：定义法)：
• D(X) = (0 – 1)²*(1/4) + (1 – 1)²*(1/2) + (2 – 1)²*(1/4)
• = (-1)²*(1/4) + 0²*(1/2) + 1²*(1/4)
• = 1*(1/4) + 0 + 1*(1/4) = 1/4 + 1/4 = 1/2。
• 答 (方法二：公式 D(X) = E(X²) – [E(X)]² )：
• 先求 E(X²) = 0²*(1/4) + 1²*(1/2) + 2²*(1/4)
• = 0*(1/4) + 1*(1/2) + 4*(1/4) = 0 + 1/2 + 1 = 3/2。
• D(X) = E(X²) – [E(X)]² = 3/2 – 1² = 3/2 – 1 = 1/2。（结果一致）
• 标准差 σ = √(1/2) = √2 / 2。

知识点 4：两点分布与二项分布的方差 (Variance of Bernoulli & Binomial Distribution)

• 通俗解释： 和期望一样，两点分布和二项分布的方差也有简洁的公式！
• 公式：
• 两点分布 (X ~ B(1, p)): D(X) = p(1-p)。(推导：E(X)=p, E(X²)=1²p+0²(1-p)=p。D(X)=E(X²)-[E(X)]²=p-p²=p(1-p))
• 二项分布 (X ~ B(n, p)): D(X) = np(1-p)。
• 推导 (二项分布)： 超出高中范围。可以理解为 n 次独立的两点分布方差的累加（因为独立，方差可加）。
• 计算例题 1： 求知识点2例题1中 X 的方差。
• 答： X 服从两点分布，p=0.98。D(X) = p(1-p) = 0.98 * (1 – 0.98) = 0.98 * 0.02 = 0.0196。
• 计算例题 2： 求知识点2例题2中 X 的方差和标准差。
• 答： X ~ B(10, 0.7)。n=10, p=0.7, 1-p=0.3。
• 方差 D(X) = np(1-p) = 10 * 0.7 * 0.3 = 7 * 0.3 = 2.1。
• 标准差 σ = √D(X) = √2.1。

知识点 5：期望与方差的应用 (Applications of Expectation and Variance)

• 期望的应用：
• 决策： 在不确定的情况下，可以计算不同选择的期望收益或期望损失，选择期望值最优的方案（例如投资决策、保险购买等）。
• 预测： 描述随机现象的长期平均趋势。
• 方差/标准差的应用：
• 风险评估： 方差/标准差越大，表示结果的不确定性越大，风险越高（例如比较两种投资产品的收益波动性）。
• 质量控制： 衡量产品尺寸、重量等指标的稳定性。标准差小表示质量稳定。
• 数据比较： 结合平均数，更全面地比较两组数据的特征。
• ⭐ 结合使用： 通常期望和方差（或标准差）要结合起来看，才能更全面地了解随机变量的特性。例如，两个投资方案期望收益相同，但方差不同，风险厌恶者会选择方差小的。

练习题：

1. 一个袋中有 3 个红球和 2 个白球，从中随机摸出 1 个球，记 X=1（摸到红球），X=0（摸到白球）。求 E(X)。
2. 已知随机变量 Y 的分布列如下，求 E(Y) 和 D(Y)。
   | Y=k | 0 | 1 | 2 |
   | :– | :– | :– | :– |
   | P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
   
   
   
3. 若 X ~ B(100, 0.2)，求 E(X) 和 D(X)。
4. 设随机变量 ξ 表示掷一颗均匀骰子的点数。求 D(ξ)。
5. 某射手射击一次命中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.2, 0.5, 0.3。求他射击一次的平均环数（期望）和环数的方差。

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