不是为了炫技，真的值得您懂：正态分布

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请浏览 原创 郑宇昊 在 机场工程人家 2025年04月20日 13:12 发表于 北京的文章：「链接」

前言

大家好，我是郑宇昊，我是中国航空规划设计研究总院一名普通机场设计工程师。过去几篇关于排水的文章，引发了不少读者的反馈，最多的一句是：“看不懂。”

这不是他们的问题，也不是知识门槛的问题，而是认知结构与思维方式的错位。为了揭示降雨这一随机变量的特殊性，我直接采用了 Gumbel 分布，用以直观展示密度函数的形状和“右尾”的特征，却没有详细交代为何选它，结果不少人在这一步“卡壳”，反复追问：“为什么是它？”

说实话，选哪个分布，其实并不重要。

我只是想借一个合适的模型，来演示公式的正反逻辑闭合性，以及极值拟合中尾部特性的呈现方式。

那天，我只是略微思考了一下——从 Normal、Lognormal、Gamma、Beta、Uniform、Gumbel、Generalized Extreme Value、Weibull、Laplace、Student’s t、Chi-Square、Exponential、Poisson……这些分布类型中，随手一取，用来举例、铺路。

文中我也提醒过：“千万别当真。”但偏偏，还是有人信了。

反过来看，如果你始终纠结“为什么用这个分布”，而不是去想“它为什么适合讲清这个问题”，那也许你卡住的不是某个答案，而是你的思维结构还没准备好接住这个问题本身。

真正值得你关注和追问的，可能是这些关键词背后的整体认知地图：

• 统计量与分布：期望值、方差、标准差；
• 概率与风险：右尾、分位数、密度函数、最大似然估计；
• 数据的形态：偏度、峰度、归一化、样本空间……

它们才是组成你未来判断力的底层积木，而不是“这个分布为什么是 Gumbel”。

所以当时我没有直接回答。不是回避，而是想让你在困惑里多停一会儿，这个坎你得自己迈过去。

今天，我觉得你已经准备好了。我们就从最基础、也是最容易被误解的那个分布讲起——正态分布。

有人劝我：“你这样把核心方法都教出去，不就等于断了自己的‘独门绝技’？你开源了，还怎么显得自己厉害？”但你如果真正读过我的行文，就会知道，我从不靠藏拙维持优势。

逻辑闭合、简单复杂、反身性、第一性原理——我写得越多，暴露得越多，反而越证明：我理解得足够深，才敢让你看得够透。

所以，不但不怕教，我甚至乐于用最简单、最通俗、最人话的方式教会你，而且我还不会指责你这么那么外行，一看就没经过某个专业的系统教育、定义也不会、概念也不明白了，太外行了，完全错了。因为说到底，我写这些，是想救人——救那些被错误理论困住、被公式吓退、被规范框住的工程师们，救那些让我泪流满面，一直自责我来晚了的人。

不是炫技，而是渡人。

好了，铺垫到这里，咱们今天回归常识——讲讲“正态分布”。

0. 什么是正态分布？

正态分布（Normal Distribution），也叫高斯分布（Gaussian Distribution），是统计学中最常见的概率分布之一。它的特点是数据围绕一个均值对称分布，呈钟形曲线，两边逐渐趋向零但不会真正触及零。

在机场工程领域，飞机轮迹分布、道面承载能力、气象数据、航班延误时间等，都可以用正态分布来描述。

宇昊解释

你可以把正态分布想象成一个标准的“飞机降落轨迹”：大多数飞机会落在跑道的中间，但总有一些会稍微偏左或偏右（但不会偏太远）。如果你统计所有降落点的横向偏移，画出数据的分布曲线，它就会呈现出一个钟形曲线，中间高、两边低，这就是正态分布！

1.正态分布的历史

正态分布的故事开始于18世纪，当时数学家棣莫弗在研究二项分布时，发现当样本量足够大且事件发生概率为50%时，二项分布可以很好地被一个新的分布函数近似，这就是我们现在所知的正态分布。到了19世纪，拉普拉斯扩展了这一发现，使得即使事件发生概率不是50%，正态分布依然能很好地近似二项分布。这一结论后来被称为“棣莫佛-拉普拉斯定理”。

在误差分析中，正态分布被拉普拉斯首次应用。接着，勒让德于1805年引入了一个名为“最小二乘法”的重要分析方法，用于处理数据中的误差，而高斯声称他早在1794年就已经在使用这个方法，并通过假设误差服从正态分布给出了详细的证明。

将正态分布称为“钟形曲线”的习惯源于1872年Jouffret首次使用这个术语来描述二元正态分布的形状。尽管如此，正态分布这个名称是由查尔斯·皮尔士、法兰西斯·高尔顿和威尔赫姆·莱克希斯在1875年各自独立提出的。这个命名其实并不太准确，因为它暗示了许多现象都是正态分布的，而实际上并非如此。

有趣的是，正态分布被称为“高斯”分布，却不是以其首次发现者命名的，这恰恰印证了史蒂格勒的名字由来法则：科学发现很少以最初发现者命名。

宇昊解释：尽管正态分布在众多科学研究和应用中被视为一种基本的、稳定的统计分布，甚至被科学家和研究者们近乎迷信般地依赖，它的广泛应用似乎赋予了它是一种动态的、符合概率的，甚至有些神秘的解释世间万物的运行规律。然而，更重要的是我们要认识到，正态分布只是众多分布中的一种特殊情况，它代表着最基础的分布之一，而且是存在均值和偏度为0且最满足“大数定理”的“特例”。在理解和应用正态分布时，我们需要记住，它虽然重要，但并非万能，真实世界中的数据分布千变万化，并不总是符合正态分布的理想模型。掌握数学和物理等基本公理，弄清楚事物本质规律后，才能灵活应用各种工具，无招胜有招，根据实际情况合理使用甚至创造思维工具来解决问题，偏重于某种方法、工具、理论而轻视其他则是经验主义和叙事谬误，那是很危险的。

2. 正态分布的数学表达

正态分布的概率密度函数（PDF）由以下公式描述：

其中：

• x是随机变量（如飞机降落点的横向偏移）
• μ（mu）：均值（数据中心）
• σ（sigma）：标准差（数据的离散程度）
• σ^2是方差（Variance），表示数据的波动程度
• e 是自然对数的底（约 2.718）

这个公式看起来复杂，但其实很简单。指数项

表示数据点 x 离均值 μ 越远，概率越低；分母

是一个标准化因子，确保概率密度曲线的总面积为1。换句话说，这个公式描述了数据如何围绕均值对称分布，并逐渐衰减。

关键点

• 标准正态分布（Standard Normal Distribution）：当 μ=0,σ=1 时，正态分布称为标准正态分布。
• 68-95-99.7 规则（68-95-99.7 Rule）：
• ±1σ 覆盖 68.27% 的数据
• ±2σ 覆盖 95.45% 的数据
• ±3σ 覆盖 99.73% 的数据
• 这意味着绝大部分数据都落在 ±3σ 内，超过这个范围的概率非常低。

上图为不同均值、方差情况下的分布情况

3. 机场工程中的正态分布应用

(1) 飞机轮迹分布（Wander Distribution）

• FAA
• 计算跑道损伤时，假设飞机轮迹遵循正态分布，标准差约 30.435 英寸（773 毫米）。
• 为什么用正态分布？
• 飞行员在降落时，虽然尽量对准跑道中心，但由于风、操作误差等因素，总会有小幅度偏移。
• 统计数据表明，飞机的轮迹偏移与正态分布高度吻合。
• 宇昊解释：
  想象一下，飞机降落时不可能每次都精准对准跑道中心。
  

(2) 道面荷载应力分布

• 道面承受飞机的压力
• 也符合正态分布，最大应力点通常位于轮胎接触区的中心，向外逐渐减小。
• 为什么用正态分布？
• 轮胎荷载在道面上的传递是连续的，中心应力最大，周围逐渐扩散，呈钟形曲线。
• 机场工程师在设计道面厚度时，需要考虑超过95%飞机载荷的影响区域（即 ±2σ 以内）。
• 宇昊解释：
  轮胎压在道面上，中心最“遭殃”，受力最大，往两边逐渐变小。这跟你拿手指戳橡皮泥一样，中间的坑最深，四周渐渐平缓。
  

(3) 跑道表面摩擦系数（Mu 值）

• 跑道表面的摩擦系数（Mu 值）
• 在不同区域（中线、接地区、端部）通常符合正态分布。
• 为什么？
• 跑道的中间部分由于飞机反复起降，磨损较快，摩擦系数通常较低。
• 但两侧使用较少，摩擦系数较高，形成“中心低、两边高”的分布，接近正态分布。
• 宇昊解释：
  跑道中间天天挨飞机轮胎摩擦，磨得快，变滑；边上偶尔才用，磨损慢，反而更粗糙。这就形成了摩擦系数的“钟形曲线”。
  
• 虽然正态分布在轮迹分布、道面荷载中非常实用，但它也有局限性。例如，极端天气（如台风、暴雪）的影响往往不符合正态分布，而是呈现重尾分布（例如，Gumbel或Weibull分布）。如果盲目用正态分布设计跑道，可能低估极端载荷，导致安全隐患。

4. 机场设计中如何利用正态分布？

(1) 确定跑道轮迹计算范围

• FAA 在计算跑道的累积损伤（CDF）时，把跑道划分成 820 英寸（20.83 米） 的轮迹区域。
• 820 英寸对应 ±6.7σ，已经覆盖了 99.99966% 的飞机轮迹。
• 宇昊解释：
  你可以把跑道想象成一块大草地，飞机每次降落就是踩一脚。FAA算了个范围，超过这个范围的“踩踏”太少，对跑道损伤基本没影响，FAA认为这些极端情况对跑道损伤的影响可以忽略。
  

(2) 计算道面设计寿命

• 机场跑道道面会受到反复载荷，随着使用时间增长，跑道会逐渐损坏。
• 工程师们会用 正态分布 来预测 跑道损坏的时间分布，确保它在设计寿命内不会超标。
• 宇昊解释：
  机场跑道就像一块蛋糕，飞机每降落一次，就“削”掉一点点。如果计算损坏速度时不考虑正态分布，就可能出现 某些地方提前坏掉，而其他地方还好好的，影响整体安全。
  

5.正态分布的局限性

虽然正态分布在机场工程中应用广泛，但它并非万能。正态分布是对称的，适合描述均值附近的数据（例如，轮迹偏移），但无法捕捉极端事件（例如，百年一遇暴雨）。例如，2012年北京“7·21”暴雨（460mm）超出了正态分布的预测范围，导致首都机场积水、航班延误。这也是我开发Z-H公式的初衷——用Gumbel分布动态评估降雨的尾部风险。此外，极端天气（如台风、暴雪）的影响往往呈现重尾分布（例如，Weibull分布），若盲目用正态分布设计跑道，可能低估风险，影响安全。

6. 结论

正态分布是对称的，适合描述均值附近的数据（例如，飞机轮迹偏移），但它无法很好地捕捉极端事件（例如，百年一遇暴雨）。而Gumbel分布是极值分布，专门用于年最大值数据（例如，降雨强度），能更好地描述尾部风险（黑天鹅事件）。这也是我在之前的文章中选择Gumbel分布的原因——机场排水设计需要关注极端降雨，而不仅仅是平均情况。

例如，机场降雨量的分布往往不符合正态分布，而是呈现右偏（极端降雨更常见），这时候用正态分布预测百年一遇暴雨可能会严重低估风险。以下是近年来的几个典型案例：

• 2012年北京“7·21”暴雨：2012年7月21日，北京遭遇60年来最强降雨，24小时内降雨量达460mm（房山区），全市平均170mm，创1951年以来最高纪录。这场暴雨超出正态分布的预测范围，导致首都机场积水、航班大面积延误，79人死亡，160万人受灾，直接经济损失约100亿元。1951年有完整气象记录以来最高！
• 2016年武汉“7·2”洪水：2016年7月2日，武汉受持续强降雨影响，24小时降雨量超过200mm，部分地区（如汉口）达到250mm，引发严重城市内涝。武汉地处长江和汉江交汇处，武昌、汉阳积水更严重，排水系统不堪重负，街道被淹，交通瘫痪，约50万人受灾，直接经济损失超过20亿元。
• 2021年郑州“7·20”特大暴雨：2021年7月20日，郑州遭遇千年一遇（按郑州站历史序列推算）的极端降雨，24小时降雨量达644.6mm（接近年均降雨量640.9mm），其中1小时最大降雨量201.9mm，创中国大陆小时降雨量历史极值。全市72小时累计降雨量787.9mm，导致近400人死亡，1500万人受灾，经济损失约1200亿元（约190亿美元）。郑州地铁被淹、街道成河，暴露出正态分布可能无法预测极端降雨的缺陷。
• 2023年北京“7·29至8·1”洪水：2023年7月29日至8月1日，受台风“杜苏芮”残余环流影响，北京遭遇140年来最强降雨，昌平区王家园水库站记录到744.8mm降雨量（3.5天），北京市日降雨量首次突破600mm，远超1891年609mm的历史纪录。全市33人死亡，18人失踪，5.9万间房屋倒塌，15万间受损，经济损失巨大。首都机场再次因积水导致航班延误，城市交通和基础设施受到严重冲击。

这些极端降雨事件均超出了正态分布的预测范围，暴露出传统方法在面对黑天鹅事件时的不足。正态分布假设数据对称分布，难以捕捉降雨的右偏和尾部风险（极端事件），而这些事件恰恰是机场排水设计中最需要关注的。这也是我开发Z-H公式的原因——用Gumbel分布动态评估降雨的尾部风险，预测小概率、高影响的极端事件，为机场排水设计提供更科学的依据。

我讲得这么天花乱坠，其实你也知道，用来验证的数据，是我“编”的。但我坚信——在公司给予的指导、支持与资源帮助下，这座看似空中的楼阁，终将落地生根，走向实践，推广到生产生活的各个领域，真正造福人类！

正态分布在机场工程中无处不在——从飞机降落点的分布、道面受力、摩擦系数变化，到跑道寿命预测，都藏着它的身影。FAA 的 FAARFIELD 软件，正是借助正态分布计算飞机轮迹，以保证跑道寿命评估的科学性与合理性。机场工程师们用它来优化结构厚度和养护策略，确保跑道既安全又经济。

如果你是机场工程师，正态分布是你最可靠的朋友，它帮你评估载荷、调整道面厚度、设计安全裕度；

如果你是飞行员，你的每一次轻微偏移，工程师早已用正态分布为你算进安全范围；

如果你只是路人，哪怕只是对机场感兴趣，下次登机时，不妨悄悄看看轮胎留下的痕迹——那些浅浅的轨迹，其实是正态分布在现实中留下的签名。

机场工程，听起来玄乎，但它不是魔法，是科学，是数字与经验的长期对话；正态分布，也不是某个专家才懂的符号，它本该属于每一个愿意理解它的人。

所以我讲，不是为了炫，而是为了传；我写，不是为了保密，而是为了开源、解惑、救人于迷雾。

因为知识最大的意义，不是让你佩服我，而是让你不再害怕它。

“I think it’s important to reason from first principles rather than by analogy.”

—— Elon Musk

“我认为，从第一性原理出发去思考，而不是依赖类比，是最重要的思维方式。”

—— 埃隆·马斯克

正态分布不是我想让你记住的公式，而是我希望你学会如何从原点出发、直面复杂。

不是因为我讲得好，而是因为你值得听懂。

作者：郑宇昊

一个矢志航空报国的老工程师。本文仅代表个人立场，如有雷同，不胜荣幸。