九上数学：已知a、b满足两个同型一元四次方程，求a^4+b^4

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一、题目

二、分析

1、a和b是一元四次方程2x^4-7x^2+1=0的两个不相等的实数根。

有的同学看不出来，有的同学能看出来却不会解释，其实只要回归方程的解的定义即可，因为a和b代入这个方程都成立，所以a和b都是这个方程的根。

2、易错点：不能直接利用根与系数的关系。

根与系数的关系是一元二次方程两根之间的关系，对于一元四次方程并不成立。

3、遇高次，考虑降次。

无论是已知中的两个一元四次方程，还是问题中的两个四次，次数都有些太高了，所以可尝试降次。

对于已知中的两个方程可通过换元来降次，对于问题中的两个四次，则可以利用已知的两个方程来降次。

三、解答

a^2，b^2是一元二次方程2x^2-7x+1=0的两个实数根

当a=-b时，a^2=b^2=(7±√41)/4，(a^2=b^2，两个相等的实数根)

a^2+b^2=(7±√41)/2

当a≠-b时，a^2+b^2=7/2，（a^2≠b^2，两个不等的实数根）

a^4+b^4=(7a^2-1)/2+(7b^2-1)/2

=7/2(a^2+b^2)-1

当a^2+b^2=(7±√41)/2时，

a^4+b^4=(45±7√41)/4

当a^2+b^2=7/2时，

a^4+b^4=45/4

四、小结

本题较难，解题时要注意以下几点：

1、根与系数的关系的适用范围：

①一元二次方程；

②两根的关系，不能是同一根。

2、注意分类讨论

3、能由a、b满足同型方程得出a、b是某方程的两个根