牛顿迭代法：求解非线性方程

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牛顿迭代法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的数值分析方法。

基本原理

基于函数在某一点处的泰勒展开式，通过不断用线性函数（切线）去近似非线性函数，逐步迭代以逼近方程的根。

迭代公式推导

设要求解的非线性方程为 f(x)=0，已知函数 f 在区间[a,b]上连续可导，且存在根 x。取初始近似值 x₀，构造函数 f(x)在 x₀ 处的一阶泰勒展开式：

f(x)≈f(x₀)+f’(x₀)(x−x₀)，令其等于零，解得 x=x₁=x₀−f(x₀)/f’(x₀)，以此类推，得到迭代公式：xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)/f’(xₙ)，n=0,1,2,…。

具体步骤

1. 选取初始近似值 x₀。

2. 计算 f(x₀)和 f’(x₀)。

3. 根据迭代公式计算下一个近似值 x₁。

4. 检查收敛性，若满足精度要求（如|x₁−x₀|<ε 或|f(x₁)|<ε，其中 ε 为给定的精度要求），则停止迭代，将 x₁ 作为方程的近似解；否则，将 x₁ 作为新的初始近似值，重复步骤 2−4。

收敛性

局部收敛性：若函数 f 在根 x附近满足一定条件（如 f’(x)≠0，且 f(x)在 x附近具有连续的二阶导数等），则牛顿迭代法在根 x的邻域内局部收敛，且具有平方收敛速度，即迭代误差的平方级数收敛。

全局收敛性：牛顿迭代法不一定是全局收敛的，其收敛性依赖于初始近似值 x₀ 的选取。如果初始值 x₀ 选取不当，可能导致迭代过程发散或进入死循环。

优点

收敛速度快，在满足条件的情况下具有平方收敛速度，对于非线性方程的单根求解，能够在较少的迭代次数内获得较高的精度。

公式简单，易于编程实现，适合在计算机上进行数值计算。

缺点

对初始近似值的选取较为敏感，需要先估计出足够接近根的初始近似值，否则可能导致迭代不收敛或收敛到错误的根。

每次迭代都需要计算函数值及其导数值，当函数较为复杂时，导数的计算可能会比较繁琐且耗费时间。

对于重根和奇异点等情况，牛顿迭代法可能失效或收敛速度变慢。

应用领域

在工程、物理、化学等众多科学和工程领域中，用于求解各种非线性方程，如电路分析中的非线性方程求解、结构力学中的非线性变形分析等。

在优化问题中，牛顿迭代法可用来求解无约束优化问题的极小点，通过对目标函数的一阶和二阶导数信息进行利用，快速逼近最优解。