用高斯消元法解决线性系统问题

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高斯法解决线性方程组

线性方程组的基本运算

对任何线性方程组进行三种操作可得到一个等价的方程组:

1. 将任意两个方程交换

2. 将系统中任何方程的所有项乘以任何不等于零的数

3. 将任意两个方程相加/相减(左右同时)

矩阵行的运算

• 交换两行
• 将一行的倍数添加到另一行
• 将一行乘以一个非零常数

从上面可以看出方程组的变换与矩阵的行变换是一致的，因此可以用矩阵变换解方程组。

行阶梯形矩阵遵循以下规则:

• 如果一行不都是零，那么第一个非零数字，称为主元。
• 对于连续两个以1开头的行，下面一行的1在上面一行的1的右边。
• 任何只有0的行都位于矩阵的底部

阶梯矩阵形式:

最简形的阶梯矩阵:

.

通过将系统的增广矩阵改写为行阶梯形来求解下列线性方程组

解：
系统的增广矩阵如下：

步骤1:在第一列中使用行操作使其生成一个主元1，但本例已有，不用这一步了。

将第(2)行加第（1）行乘-2行，在第(3)行加第（1）行乘-5。

步骤2:在第2列中使用行操作或它们的组合生成一个1(如果没有的话)，本例已有。

将- 1乘以行(2)加到行(3)

上面的矩阵是行阶梯形。相应的线性系统为：

可以将z带回上一个方程得出y, 然后求出z。

最后得出解：

前面谈到最简阶梯形矩阵，我们注意到在主元的1上下都是0。求矩阵的最简阶梯形的方法称为高斯法。

我们继续对上面最后一个增广矩阵做行变换。

将第二行加上第三行乘以6：

接着将第一行加上第三行：

最后将第一行减去第二行：

将增广矩阵改写为最简阶梯形的优点是，无需进一步计算就能给出给定方程组的解，如下所示:

总结一下高斯消元法转换为最简形的阶梯矩阵的方法是：

1. 构造一个需要的增广矩阵。
2. 互换行，使第一行是的首位是1，如果没有一般可以将一个合适的放在首行。
3. 将首行的第一列数a去除第一行的全部元素，使首行第一个数变成1.
4. 将首行乘以一个系数消掉首行下面第一列的所有元素，使其它行的首项都是0.
5. 重复3-4步，使得其它非零行的首位是1，直到形成一个阶梯矩阵。
6. 最后利用行运算把所得的阶梯矩阵变成最简阶梯矩阵。

上面的高斯法也可以用来求矩阵A的逆矩阵，其方法就是：

上述式子就是把增广矩阵AlI经过一系列高斯法的行变换，使得AlI变为IlC, C就是A的逆矩阵。关于逆矩阵的另外一种求法请参见什么是矩阵的逆矩阵 。