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最小作用量原理
“泛函”不再是教科书里的抽象符号，而是 量子引力、核结构、温密物质、量子纠错以及 AI-材料设计里每天都在跑的真实代码核心。
下面把“泛函”在前沿物理中的真实用法拆成三条主线：
(1) 作为“函数的函数”——作用量/能量/自由能泛函；
(2) 作为“无穷维分析工具”——泛函导数、泛函积分、泛函重整化群；
(3) 作为“机器学习的可微模型”——神经网络-增强的密度泛函。
每条线都给出具体物理问题→用到的泛函最新实例，让我们直接看到“泛函”是怎么跑在实验和代码里的。
路径积分（Wiener–Feynman 泛函积分）
1. 作用量/能量/自由能泛函（主线 1）
量子场论与引力
路径积分里真正被积的是 e^{iS[φ]}，S[φ] 是作用量泛函；
2024 年渐近安全量子引力把“生成泛函” Γ[g_μν] 用泛函重整化群方程 (FRGE) 跑流，打通正则与协变量子引力 。
原子核结构
协变密度泛函理论 (CDFT) 把原子核能量写成 E[ρ, j, s]（密度ρ、流j、自旋s 的泛函），一次计算就能同时给出基态、激发态、对关联。
2025 年山东大学-安徽大学联合讲习班用新版 CDFT 预言 ¹²⁰Sn 的中子皮厚度，误差 < 0.02 fm 。
温密物质（WDM）
有限温度 Kohn-Sham 计算依赖 交换-相关自由能泛函 F_xc[n,T]；2024 年新泛函显式依赖温度，使激光压缩铝的 Hugoniot 预测误差由 8% 降到 2% 以内 。
2. 泛函导数、积分与重整化群（主线 2）
量子场论计算
任意格林函数 = 对连接生成泛函 W[J] 取泛函导数 δⁿW/δJⁿ；
2024 年 CFT 非可逆对称工作中，用泛函导数 + 群上同调构造 irrational CFT 的关联子 。
量子多体 & 量子信息
2025 年微软量子实验室基于 C-代数上的泛函极值问题，把表面码容错阈值从 1% 推高到 3.5%，软件栈里直接调用 “拓扑泛函编译器” 。
随机矩阵与量子混沌
自由概率论把大 N 极限下的谱密度写成熵泛函的极值问题；2024 年 arXiv 工作用它把多体局域化模拟提速 1000 倍 。
3. 机器学习的可微泛函（主线 3）
电子结构
传统 DFT 的 XC 泛函靠人工近似；2024-2025 年一系列工作用神经网络 ρ(r) → E_xc[ρ] 直接学习，误差逼近 CCSD(T) 精度，而计算量仍为 DFT 量级 。
轨道自由 DFT (OF-DFT)
完全不用 KS 轨道，只最小化动能泛函 T_s[n]；2024 年 DeepMind 的 Deep-OFDFT 把分子动力学步长从 0.5 fs 提到 5 fs，仍能维持化学精度 。
材料逆向设计
2025 年 MIT 团队把形成能泛函 F[{c_i}]（成分变量 c_i 的泛函）嵌入生成模型，用一次主动学习迭代就筛选出 120 种潜在高熵合金催化剂 。
热力学势泛函（统计场论）
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