最强聚类模型，层次聚类 ！！

哈喽，我是小白~

咱们今天聊聊层次聚类，这种聚类方法在后面的使用，也是非常频繁的~

首先，聚类很好理解， 聚类（Clustering）就是把一堆“东西”自动分组 。

这些“东西”可以是人、物品、图像、文本、客户等等。

分组是 让相似的归在一组，不相似的分开 。

层次聚类

层次聚类就是： 一步一步地合并（或拆分）小组，最后形成一个“层次结构” ，像一棵树一样。

有两种方式：

1. 自底向上（常见）
   ：一开始每个点都是一个小组，然后
   两两合并最像的组
   ，一直合并，直到只剩一个大组。
   
2. 自顶向下（不常用）
   ：一开始是一个大组，不断拆分。
   

类比解释

假设有 6 个小朋友，他们身高如下（单位：cm）：

你不知道他们属于哪个年级，但你怀疑：他们应该可以分成“低年级”和“高年级”。

怎么做层次聚类？

第一步：先把他们看成 6 个独立的组：

A   B   C   D   E   F

第二步：找“最像”的两个小朋友（距离最小的）

他们的“相似度”可以用“身高差”来表示：

最小的是 AB 和 DE，都是距离 2。

我们先合并 AB，变成一个新组（叫 AB），然后重新计算“组与其他人”的距离。

第三步：继续合并（演示部分）

现在的组是：

[AB]  C   D   E   F

我们假设用“组的平均值”代表组的身高：

再计算距离：

现在是：

[AB]   C   [DE]   F

继续：

我们可以任选一个合并，比如 AB 和 C → ABC，平均身高 = (100+102+105)/3 = 102.3

最后也会合并 DE 和 F → DEF，平均身高 = (160+162+165)/3 ≈ 162.3

最终变成：

[ABC]   [DEF]

你看到没有？我们 成功把6个小朋友分成了两组：一个是100多身高，一个是160多身高的！

公式解析

我们有一个数据集 ，其中每个数据点 是一个 -维向量。

聚类的目标是把这 个样本划分成 个组（簇，cluster），使得：

这种“相似”通常用 距离函数 衡量。

核心思想：从每个点一个簇开始（共有 个簇），找出两个“最近”的簇，合并成一个新簇；重复，直到只剩一个簇（或满足停止条件）

这个过程会生成一个 嵌套的层级结构（树） ，称为 树状图 。

常用的距离度量公式

数据点之间的距离（欧几里得距离）：

对于两个点 和 ：

也可以用曼哈顿距离、余弦相似度等。

簇之间的距离计算

层次聚类中，两个簇之间的“距离”可以有不同的定义方式。

最重要最常见的是 4种经典的 Linkage 方法 ：

1. 单链接（Single Linkage）

定义两个簇 之间的距离为：

也就是两个簇中 最近的两个点 之间的距离。

2. 全链接（Complete Linkage）

定义两个簇 之间的距离为：

两个簇中 最远的两个点 之间的距离。

3. 平均链接（Average Linkage）

两个簇中 所有点对的平均距离 。

4. 重心法（Centroid Linkage）

先计算簇的 重心（中心） ，再比较两个重心之间的距离：

设 是簇 的重心：

那么：

推导例子

让我们再用前面的数据：

欧几里得距离为：

初始簇：

使用单链接（Single Linkage）

计算最小距离：

最小是 ，合并成

现在：

再计算所有距离，使用 single linkage：

再继续……直到你达到目标簇数。

完整案例

基于上面的小朋友身高示例，生成一个稍微复杂的合成数据集，模拟两类人群（儿童与成年人）在四个维度（身高 Height、体重 Weight、年龄 Age、收入 Income）上的分布，使用平均链接的层次聚类方法进行分析~

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.cluster.hierarchy import linkage, dendrogram, fcluster
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
from sklearn.metrics import silhouette_samples, silhouette_score

# 1. 生成合成数据：基于“小朋友”和“成年人”两个簇
np.random.seed(42)
# “小朋友”簇
children_height = np.random.normal(120, 5, 25)
children_weight = children_height * 0.45 + np.random.normal(0, 3, 25)
children_age = np.random.normal(10, 2, 25)
children_income = np.random.normal(50, 10, 25)
# “成年人”簇
adult_height = np.random.normal(170, 5, 25)
adult_weight = adult_height * 0.5 + np.random.normal(0, 5, 25)
adult_age = np.random.normal(35, 5, 25)
adult_income = np.random.normal(200, 50, 25)

# 合并到 DataFrame
data = pd.DataFrame({
    'Height': np.concatenate([children_height, adult_height]),
    'Weight': np.concatenate([children_weight, adult_weight]),
    'Age': np.concatenate([children_age, adult_age]),
    'Income': np.concatenate([children_income, adult_income])
})

# 2. 计算欧氏距离矩阵
dist_matrix = pdist(data.values, metric='euclidean')

# 3. 进行层次聚类（平均链接）
Z = linkage(dist_matrix, method='average')

# 4. 绘制树状图（Dendrogram）
plt.figure(figsize=(10, 5))
dendrogram(Z, leaf_rotation=90)
plt.title('Figure 1: Hierarchical Clustering Dendrogram')
plt.xlabel('Sample Index')
plt.ylabel('Distance')
plt.tight_layout()

# 5. 绘制距离矩阵热图
plt.figure(figsize=(8, 6))
dm = squareform(dist_matrix)
plt.imshow(dm, aspect='auto', origin='lower')
plt.title('Figure 2: Distance Matrix Heatmap')
plt.xlabel('Sample Index')
plt.ylabel('Sample Index')
plt.colorbar(label='Euclidean Distance')
plt.tight_layout()

# 6. 根据距离阈值截断，获取簇标签
max_d = 30  # 根据树状图设定
clusters = fcluster(Z, max_d, criterion='distance')

# 7. 绘制 Height vs Weight 散点图，标记簇
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(data['Height'], data['Weight'], c=clusters)
plt.title('Figure 3: Height vs Weight Clustering')
plt.xlabel('Height (cm)')
plt.ylabel('Weight (kg)')
plt.tight_layout()

# 8. 轮廓系数（Silhouette）分析
sil_score = silhouette_score(data.values, clusters)
sil_samples = silhouette_samples(data.values, clusters)
plt.figure(figsize=(8, 6))
y_lower = 10
for i in np.unique(clusters):
    ith_silhouette = sil_samples[clusters == i]
    ith_silhouette.sort()
    y_upper = y_lower + len(ith_silhouette)
    plt.fill_betweenx(np.arange(y_lower, y_upper),
                      0, ith_silhouette)
    plt.text(-0.05, y_lower + 0.5 * len(ith_silhouette), str(i))
    y_lower = y_upper + 10
plt.title(f'Figure 4: Silhouette Plot (Score = {sil_score:.2f})')
plt.xlabel('Silhouette Coefficient Values')
plt.ylabel('Cluster Label')
plt.tight_layout()

# 9. 各簇特征分布箱线图
data['Cluster'] = clusters
plt.figure(figsize=(10, 8))
data.boxplot(by='Cluster', layout=(2, 2))
plt.suptitle('Figure 5: Feature Distribution by Cluster')
plt.tight_layout(rect=[0, 0.03, 1, 0.95])

# 显示所有图形
plt.show()

Figure 1 – Dendrogram（树状图）

可以清晰看到：

此图告诉我们左右两侧分别代表两大类群体——高度、体重、年龄、收入都近似的儿童簇与成年人簇。

Figure 2 – Distance Matrix Heatmap（距离矩阵热图）

热图以视觉形式强化：跨两大簇的距离远超簇内距离，聚类分界明显。

Figure 3 – Height vs Weight Clustering（身高-体重散点图）

二维投影依旧能显著区分簇的分布，并验证 平均链接 在主要特征上表现优秀。

Figure 4 – Silhouette Plot（轮廓系数图）

该图量化了簇的内部凝聚力与群间分离度，平均 0.67 属于比较理想的聚类结果。

Figure 5 – Feature Distribution by Cluster（按簇分组特征箱线图）

四个子图分别展示 Age、Height、Income、Weight 在不同簇（1/2）下的箱线分布

箱线图直观展现每个特征在两簇间的中位数、四分位距与异常值情况。