决策树分析详解及例题讲解

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决策树例题

以上述例题举例，进行决策树分析的学习，先看这个题的解题过程：

要解决这个问题，我们需要运用决策树分析，分阶段计算建大厂和建小厂在不同市场情况下的期望收益，再比较两者大小，选择总收益更大的方案。

步骤 1：明确时间阶段与概率

问题涉及前 2 年和后 5 年两个阶段，市场销路的概率如下：

• 前 2 年：销路好的概率为 P1=70%=0.7，销路不好的概率为 P2=1−0.7=30%=0.3。
• 后 5 年：若前 2 年销路好，后续 5 年销路好的概率为 P3=80%=0.8，销路不好的概率为 P4=1−0.8=20%=0.2；若前 2 年销路不好，后续 5 年销路好的概率为 P5=10%=0.1，销路不好的概率为 P6=1−0.1=90%=0.9。

步骤 2：计算 “建大厂” 的期望总收益

建大厂的初期投资为 500 万元，每年获利情况：销路好时年获利 200 万元，销路不好时年亏损 20 万元（即年获利−20万元）。

我们需要分 “前 2 年” 和 “后 5 年”，结合不同市场情况的概率，计算期望收益。

（1）前 2 年的期望收益

（2）后 5 年的期望收益（分 “前 2 年销路好” 和 “前 2 年销路不好” 两种情况）

• 情况 1：前 2 年销路好
  后 5 年的期望收益 = （后续销路好的年获利 × 概率 + 后续销路不好的年获利 × 概率）× 5 年
  后5年期望收益（前2年好）=(200×0.8+(−20)×0.2)×5=(160−4)×5=156×5=780 万元
  
  
• 情况 2：前 2 年销路不好
  后 5 年的期望收益 = （后续销路好的年获利 × 概率 + 后续销路不好的年获利 × 概率）× 5 年
  后5年期望收益（前2年不好）=(200×0.1+(−20)×0.9)×5=(20−18)×5=2×5=10 万元
  
  

（3）后 5 年的总期望收益

（4）建大厂的 7 年总期望收益（扣除初期投资）

步骤 3：计算 “建小厂” 的期望总收益

建小厂的初期投资为 200 万元，每年获利情况：销路好时年获利 100 万元，销路不好时年获利 20 万元。

（1）前 2 年的期望收益

（2）后 5 年的期望收益（分 “前 2 年销路好” 和 “前 2 年销路不好” 两种情况）

• 情况 1：前 2 年销路好
  后 5 年的期望收益 = （后续销路好的年获利 × 概率 + 后续销路不好的年获利 × 概率）× 5 年
  后5年期望收益（前2年好）=(100×0.8+20×0.2)×5=(80+4)×5=84×5=420 万元
  
  
• 情况 2：前 2 年销路不好
  后 5 年的期望收益 = （后续销路好的年获利 × 概率 + 后续销路不好的年获利 × 概率）× 5 年
  后5年期望收益（前2年不好）=(100×0.1+20×0.9)×5=(10+18)×5=28×5=140 万元
  
  

（3）后 5 年的总期望收益

（4）建小厂的 7 年总期望收益（扣除初期投资）

步骤 4：比较两种方案的总收益

• 建大厂总收益：317 万元（略多于 300 万元）；
• 建小厂总收益：288 万元。

因此，建大厂的总收益更高，且略多于 300 万元。

在解决完该题之后，我们接下来对决策树分析进行一下简单的介绍。

决策树分析是一种直观、系统的定量决策方法，通过构建 “树状结构”，将复杂的多阶段、多概率决策问题分解为简单的节点和分支，清晰展示决策路径、概率分布与收益结果，帮助决策者在不确定环境下选择最优方案。

一、决策树的核心组成

决策树由节点和分支构成，核心元素包括：

• 决策节点（用 “□” 表示）：代表需要做决策的点（如 “建大厂” 或 “建小厂”），从决策节点延伸出方案分支（每个分支对应一个决策选项）。
• 机会节点（用 “○” 表示）：代表存在不确定性的事件（如 “市场销路好” 或 “不好”），从机会节点延伸出概率分支（每个分支对应一个事件，标注发生概率）。
• 结果节点（用 “△” 表示）：代表决策或事件的最终结果，标注该路径下的收益 / 损失。

二、决策树分析的步骤

以 “建厂决策” 为例，完整流程分为构建决策树、计算期望收益、剪枝选优三步：

步骤 1：构建决策树（可视化决策路径）

以 “7 年建厂决策” 为例，决策树的结构如下（从左到右延伸）：

1. 第一层：决策节点
   起点是 “决策节点”，延伸出两个
   方案分支：“建大厂” 和 “建小厂”。
2. 第二层：机会节点（前 2 年市场）
   从 “建大厂” 和 “建小厂” 分支，分别延伸出
   机会节点（代表 “前 2 年市场销路”），每个机会节点延伸两个概率分支：销路好（概率 70%）；销路不好（概率 30%）。
3. 第三层：机会节点（后 5 年市场）
   从 “前 2 年销路好” 和 “前 2 年销路不好” 的概率分支，再延伸出
   机会节点（代表 “后 5 年市场销路”），每个机会节点延伸两个概率分支：若 “前 2 年好”，后 5 年 “好” 概率 80%，“不好” 概率 20%；若 “前 2 年不好”，后 5 年 “好” 概率 10%，“不好” 概率 90%。
4. 第四层：结果节点
   每个 “后 5 年市场” 的概率分支，最终指向
   结果节点，标注该路径下的 “总收益”（需扣除初期投资）。

步骤 2：计算期望收益（从右向左反向计算）

期望收益（Expected Monetary Value, EMV）的公式为：
EMV=∑(收益
i×概率i)

以 “建大厂” 为例，计算过程如下（“建小厂” 同理）：

（1）计算 “后 5 年” 的期望收益

从最右侧的 “结果节点”，反向计算每个 “后 5 年机会节点” 的期望收益：

• 若 “前 2 年销路好”：
  后 5 年的期望收益 = (200×0.8+(−20)×0.2)×5=780 万元。
  
• 若 “前 2 年销路不好”：
  后 5 年的期望收益 = (200×0.1+(−20)×0.9)×5=10 万元。
  

（2）计算 “前 2 年 + 后 5 年” 的总期望收益

前 2 年的期望收益 + 后 5 年的期望收益（加权平均，按前 2 年概率）：

总期望收益（建大厂） = [(200×0.7+(−20)×0.3)×2]+[0.7×780+0.3×10]−500=317 万元。

步骤 3：剪枝选优（选择期望收益最大的方案）

比较所有决策方案的期望收益：

• 建大厂总收益：317 万元；
• 建小厂总收益：288 万元。

“剪去” 期望收益低的 “建小厂” 分支，选择 “建大厂” 作为最优方案。

三、决策树分析的优势与适用场景

优势：

• 直观清晰：树状结构可视化决策路径，复杂问题变得简单易懂；
• 量化分析：结合概率与收益，将 “不确定性” 转化为 “定量期望”，减少主观判断；
• 多阶段支持：能处理 “现在决策→未来事件→再决策” 的多阶段问题（如本题 “前 2 年→后 5 年” 的两阶段决策）。

适用场景：

• 存在多个决策选项（如 “建大厂 / 小厂”“开发新产品 / 维持现状”）；
• 未来存在不确定性事件（如 “市场好坏”“政策变化”），且能估计事件概率；
• 涉及多阶段决策（如短期决策影响长期结果）；
• 需量化比较收益 / 损失（如利润、成本、风险）。

四、总结

决策树分析是 “把复杂决策拆成简单步骤，用概率加权计算期望，最终选最优” 的方法。核心逻辑是：构建树→算期望→剪枝选优，特别适合 “多选项、多阶段、有概率” 的决策场景（如投资、生产、项目管理等）。