《行列式知识点，出题方向，解题方法》———第一篇 行列式的展开

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一篇文章搞定《行列式所有知识点，出题方向，解题方法》————第一篇 行列式展开的深度分析

既然说到了行列式，那么就不得不提行列式是用来做什么的，其实，行列式的提出本来是为了解决n个未知量n个方程的线性方程组问题，就像 方程组：

直接解这个方程组十分繁杂，极不现实，那怎么办呢？

由克莱姆（Cramer）法则：将上述线性方程组的系数按照顺序记作如下的方阵

而后用等号右侧的b1b2…bn的竖列分别替换掉D中的第一竖列得到D1，替换第二竖列得D2，以此类推…然后方程组就解完了90%了，剩下的步骤就是：

（一），根据行列式的计算法则（下面会讲）判断D是否等于零。

（二），若等于零，则方程有无穷多个解。若不等于零，则有下列结果：

X1=D1/D X2＝D2/D … Xn＝Dn/D

这样就把很复杂的问题变得简单不少，下面来细细说一下行列式。

一，行列式的展开

行列式其实是对一个n×n方阵做的运算，记作det(A)或者|A|。它更像是我们做的新定义数学题一样，给定一个n×n的方阵，左右加上两条类似于绝对值的竖线，就构成了一个计算法则。那么这个法则究竟是什么呢？请见下图，

这究竟是什么意思呢，用我的理解来说，就是从每一行中抽取一个元素，所抽取的元素不能同列（例如第一行抽a11，那么剩余的a21a31…an1都不能被抽取）这样抽取来的n个元素相乘（例如得到a11a22a33…ann），由排列组合的知识也可以知道展开式总共有n！个项，而且每一个项前的符号由其脚标的逆序数决定，求逆序数的方法参考如下：

将脚标的第一个数字（行标）升序排列，然后将脚标的第二个数字（列标）单独摘出来，例如12345…n，然后从第一个数开始，将每一个数字左边比其大的数字的个数找出来并加到一起就得到了逆序数。

而如果我们深入探究一下，将行列式的展开式进行合并同类项操作，化作a11(一堆代数式)+a12(一堆代数式)+..+a1n(一堆代数式)的形式，我们会发现每一个括号内的“一堆代数式”恰好都是原行列式中划去a1j所在的行与列后重新形成的行列式，比如：拿a12来说，其所对应的一堆代数式就是如图所示的行列式，第一行变成了a21a23…a2n

而在数学中，早对此有所定义。划去行列式中一个元素aij(i代表行数，j代表列数)所得的n-1阶行列式，称为aij的余子式，记作Mij，而算上符号来说，称（-1）的i+j次方在乘以Mij称为代数余子式，记作Aij，不难发现，所以行列式的展开还可以写成如下的形式

这样我们就得到了第二个展开定理，但是我们仍不满足，继续对原展开式进行分析。假如我们把左上角的a11a12a21a22构成的行列式提出来，留下的恰好是原行列式除去提出来的行列式所剩的代数余子式，提出来左上角的行列式，总是恰好留下右下角的代数余子式。

这究竟是个巧合还是一个规律？我们重复这样的过程，抽取不同的方阵，发现结果都是如此，于是我们得到了更为广泛的第三条展开定理（拉普拉斯定理）：在n阶行列式D=|aij| 中，任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。由此看来，第二种展开方法只是第三种的特殊情况罢了。

展开定理的三种已经全部说完，虽然系统但并不简便，那如何进行简便的处理呢？什么样的行列式有通解呢？我们下篇再一起探讨。

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