数论中裴蜀定理的简单理解

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要理解裴蜀定理，需要分几个步骤。

这一步很好理解。

（a1,a2）= d2表示d2是a1、a2的最大公约数，d也是公约数，但不是最大，所以d2可以被d整除，其它也一样。比如（4，8，12），最大公约数是4，但2也是它们的非最大公约数。

再看下面定理：

又因为

上面定理整个证明的思路就是，y0本身是集合A中的一个数字，符合a1x1+a2x2+…….的构造形式。由《数论中的最小正数整除问题》一文中的证明可知，按照a1x1+a2x2+…….构成的任何整数都可以被y0整除。因为d|ai，也就是ai有公因子d，而y0的构成形式是a1x1+a2x2+…….，所以y0自然也可以被d整除，由此得到d<=y0。又因为ai都可以表示成a1x1+a2x2+…….的形式，所以y0|ai。因为d代表（a1,a2,a3,……）的任意一个公约数，因此得到y0是最大公约数的结论。

以上结论的特殊形式就是裴蜀定理：

由以上叙述可以看到，裴蜀定理主要包括以下几点：

1：形如a1x1+a2x2+…….的整数，可以被其中的最小正整数y0整除。

2：如果d|ai，则d|y0，由此得到d<=y0。

3：由于ai也属于a1x1+a2x2+…….构成的集合，所以y0|ai 。

4：由于d是任意一个公约数，所以得到y0是最大公约数，即y0=(a1,a2,a3,……)

5：特殊形式as+bt=(a,b)就是裴蜀定理。

6：如果a,b互为质数，则as+bt=1。