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平面向量数乘运算精解
伸缩变换·共线判定｜三大核心全突破
一、数乘定义 → 向量的伸缩与转向
▍ 数学定义
实数 λ 与向量 →a 的数乘：λ→a
- 模长变化：|λ→a| = |λ|·|→a|
- 方向控制：λ>0：与 →a 同向λ<0：与 →a 反向λ=0：结果为零向量 →0
▍ 几何意义
- 伸缩：λ=2 时向量伸长2倍
- 压缩：λ=0.5 时缩短为一半
- 反向：λ=-1 时得 →a 的相反向量
示例：→a=(3,1) →b=2→a=(6,2) →c=-0.5→a=(-1.5,-0.5) 二、运算律 → 向量代数的基石
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运算律 |
公式 |
示例验证（设→a=(2,3), λ=2, μ=3） |
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分配律1 |
λ(→a+→b)=λ→a+λ→b |
2×[(2,3)+(1,1)]=2(3,4)=(6,8) ✔ |
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分配律2 |
(λ+μ)→a=λ→a+μ→a |
(2+3)(2,3)=5(2,3)=(10,15) ✔ |
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结合律 |
λ(μ→a)=(λμ)→a |
2×[3×(2,3)]=2×(6,9)=(12,18) ✔ |
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单位元 |
1·→a=→a |
1×(2,3)=(2,3) ✔ |
⚡ 运算本质：向量坐标按实数倍缩放
- 若 →a=(x,y)，则 λ→a=(λx, λy)
三、向量共线定理 → 平行世界的钥匙
▍ 定理表述
向量 →a 与 →b (→b≠0) 共线
⇔ 存在唯一实数λ，使 →a=λ→b
▍ 深度解读
- 几何意义：→a∥→b 的本质是 →a 可被 →b 线性表示
- 唯一性证明（反证法）：若存在 λ₁,λ₂ 均满足 →a=λ₁→b=λ₂→b则 (λ₁-λ₂)→b=→0∵ →b≠0，∴ λ₁=λ₂
- 零向量特例：→0 与任意向量共线（取 λ=0）
▍ 实战应用
- 三点共线证明（核心方法）已知 A,B,C 三点若 →AB=λ→AC，则 A,B,C 共线例：A(1,2), B(3,4), C(7,8) →AB=(2,2), →AC=(6,6) ∵ (6,6)=3×(2,2) ∴ λ=3 → 三点共线
- 平行判定在四边形ABCD中，若 →AB=λ→DC，则 AB∥DC
知识拓扑 ▶ 从数乘到体系构建
伸缩/转向 ↑ 数乘定义 → 运算律 → 向量空间代数化 ↓ 共线定理 → 几何关系代数化 ↓ 平行判定·三点共线 
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