高斯特征方程（高斯绝妙定理）妙在何处？

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一、曲面的参数化与切空间

三维空间参数曲面，可以用两个参数表示出来：

设曲面 S由参数化 r(u,v)给出，其中 (u,v)为参数坐标。

曲面上每一点的单位法向量，平移到以原点为心的单位球面上。

1、第一基本形式的推导

目标：定义曲面上的度量（弧长、角度、面积），仅依赖参数化本身。

步骤1：切向量的内积

步骤2：弧长与第一基本形式

曲面上曲线的微分弧长 ds 满足：

第一基本形式的矩阵表示为：

几何意义：

2、第二基本形式的推导

目标：描述曲面在空间中的弯曲程度，依赖曲面的嵌入方式（即法向变化）。

步骤1：曲面的二阶导数

考虑参数化的二阶偏导数：

向量可分解为切向分量和法向分量。

步骤2：法向投影与第二基本形式

二阶导数在法向量 n上的投影定义了第二基本形式的系数：

几何解释：

L,M,N反映曲面沿 u,v方向的弯曲速率。

例如，L>0 表示沿 u方向曲面朝法向量方向凸起。

步骤3：第二基本形式的表达式

第二基本形式的矩阵表示为：

几何意义：

3、曲线夹角方程

二、高斯曲率

1、基本工具

2、高斯曲率的经典定义

高斯曲率最初通过第二基本形式定义为：

公式直观上反映了曲面的局部弯曲特性，但其推导需结合曲面的嵌入空间信息

3、推导步骤

步骤1：法曲率的计算

步骤2：主曲率与高斯曲率

步骤3：高斯绝妙定理的证明

高斯通过复杂的计算证明 K 仅由第一基本形式及其导数决定，过程如下：

计算Christoffel符号：
利用第一基本形式的导数定义Christoffel符号：

黎曼曲率张量的计算：

假设参数化为正交坐标系（F=0），此时第一基本形式简化为：

度量张量的逆矩阵为对角矩阵：

黎曼曲率张量的分量定义为：

代入具体Christoffel符号：

代入Christoffel符号后，所有涉及第二基本形式的项在计算过程中相互抵消，最终得到仅含 E,F,G 及其导数的表达式。

高斯曲率的内蕴表达式：
归一化黎曼曲率张量：

4. 绝妙之处

内蕴性：高斯曲率仅由曲面的度量（第一基本形式）决定，与嵌入空间无关。例如，圆柱面与平面局部等距（E=1,F=0,G=1），因此高斯曲率均为零。

计算奇迹：在黎曼曲率张量的计算中，第二基本形式的影响被完全消去，揭示了微分几何的深层对称性。

几何学革命：这一发现表明，曲面的弯曲可以仅通过其内蕴几何描述，无需外部参照空间，为黎曼几何奠定基础。

5. 实例验证

以球面为例（半径 R）

第一基本形式是曲面的“尺子”，定义了内蕴几何，仅依赖 E,F,G。

第二基本形式是曲面的“弯曲探测器”，依赖 L,M,N，需借助三维空间中的法向量。

高斯绝妙定理（K仅由第一基本形式决定）揭示内蕴几何的深刻性：蚂蚁无需离开曲面即可感知曲率。

三、小结

1、曲面的弯曲完全由自身度量决定，与嵌入空间无关。

2、法曲率

曲线法向量（曲率向量）β跟曲面法向量n不一定同向。

法曲率：

ru、rv与n正交，点积为0️⃣

Kn只与曲线的切方向(du/ds，dv/ds)相关，称为曲线的法曲率。

3、测地曲率Kg

K²=Kg²+Kn²

T为曲线切向量，NM为M点法向量！