矩阵乘法的意义

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矩阵乘法，最初定义为对应元素相乘，即Matlab中的点运算符，后来才有线性代数中的定义。简而言之，矩阵乘法的意义就是线性映射的复合。如果想要彻底理解矩阵的乘法，那么需要理解以下几个概念：线性映射，线性映射的复合。

1.线性映射

Let ：UV，U,V为数域K上的线性空间，且满足对任意

1.

2.

称映射为K上线性映射，当V＝U时，称该映射为线性变换。当映射为双射时，称为线性同构

可以证明，U,V间全体线性映射构成K上线性空间

对任意线性映射，取定U,V的一组基后。存在线性同构，使得全体线性映射与全体m*n矩阵线性同构，。

为U一组基，为V的一组基，存在唯一m*n矩阵A使得

其中，A的第i列，为在基下的坐标。

2.线性映射复合

定义线性映射乘法，即线性映射复合为，可以证明，K上U到V的全体线性映射为K上代数(个人猜测这也是为何命名为线性代数的原因，代数，直白的讲就是和数一样的运算，如任意数域上的全体多项式，任意数域上的m*n矩阵)。

可以证明，线性映射与矩阵间的线性同构保持乘法，即代数同构。

如1中定义的线性同构，记为T，则，即T为代数同构。

至此，得到结论，即矩阵乘法即为对应线性映射的复合。