【高中数学】数列 · 通项求法

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【高中数学】数列 · 通项求法

〇、At the begining

这个东西有点乱（令人抓狂），而且好像还有一些题型没有涉及，后续可能补充

一、累加法

 就是形如a_n+1-a_n=f(n)的形式

 解决方法 ： 化为a_n-a_n-1=f(n-1)形式，然后进行累加

Example:

已知数列{a_n}中，a₁=0,a_n+1+2n-1,求a_n

• f(n)是一次函数，累加后转化为等差数列，求和即可
• f(n)是二次函数，累加后分组求和
• f(n)是指数函数，累加后转化为等比数列，求和即可
• f(n)是分式函数，累加后运用列项相加法求和即可

二、累乘法

 就是形如a_n+1=a_n的形式

 解决方法 ： 化为a_n=f(n-1)a_n-1形式，然后进行累加

Example:

已知{a_n}中，a₁=1,a_n+1=2ⁿa_n,求a_n

三、构造法

 其实就是形如a_n+1=p · a_n + f(n)的形式

 基本上可以总结为三种形式，如下：

• a_n+1 = p · a_n + q （p $\ne$ 1 , q $\ne$ 0）

  解决方法 ： 将式子转化为a_n+1 + $\lambda$ = p · (a_n + $\lambda$)的形式，其中$\lambda$ 可用待定系数法求出。非常简单

  Example:

  已知{a_n}中a_n+1 = 3a_n+2,a₁ = 3，求a_n

  Answer:

  由题干，易知原式可化为：a_n+1 +1 = 3(a_n + 1)

  又因为a₁ = 3 $\ne$ 0

  so，数列{a_n + 1}是首项为3，公比为3的等比数列

  可知a_n +1 = 3ⁿ，即a_n = 3ⁿ +1

• a_n+1 = p · a_n + qⁿ (p $\ne$ 1 , q $\ne$ 0 or 1)

  解决方法：

    1.待定系数法，同上；

    2.等式两边同时除以 pⁿ⁺¹ 或 qⁿ⁺¹ ，做法差不多，目的是为了构造出一个等差数列方便求解

  这里重点讲一下第二种做法

  Give you an Example:

  已知{a_n}满足a_n+1 = 2a_n + 4 · 3^n-1，求a_n

  • 解法一  (同除以qⁿ⁺¹) :

     两边同时除以3ⁿ⁺¹ , 得：

  $$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a_n}{3^n}+\frac{4}{9}$$
     然后就按照上面待定系数法做
  

  • 解法二  (同除以pⁿ⁺¹):

     两边同时除以2ⁿ⁺¹ , 得：

  $$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{4}{3}\cdot (\frac{3}{2}{)}^n$$
     接下来同上
  

• a_n+2 = p · a_n+1 + q · a_n

  解决方法：将a_n作为f(n)来解决

  Example:

  已知数列{a_n}满足a_n+2 = 3 a_n+1 – 2 a_n , a₁ = 1 , a₂ = 3 ， 求a_n

  Answer：

  设a_n+2 + $\alpha$ · a_n+1 = $\beta$(a_n+1 + $\alpha$ · a_n)

  则可知a_n+2 = ($\alpha$+$\beta$)a_n+1 – $\alpha$ · $\beta$ a_n

  和已知的式子a_n+2 = 3 a_n+1 – 2 a_n 比较，可知：
  $$\{\begin{array}{c}\alpha =1\\ \beta =2\end{array}or\{\begin{array}{c}\alpha =2\\ \beta =1\end{array}$$
  取$\alpha$ = 2 , $\beta$ = 1. （两种取法一样）
  
  

  可知 , a_n+2 – 2a_n+1 = a_n+1 -2a_n

  又因为a₂ – 2a₁ = 3-2 =1

  所以a_n+1 – 2a_n = 1

  即a_n+1 +1 = 2(a_n +1)

  可知 a_n = 2ⁿ-1

END

如有谬误请多指教！

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