简要解读对数的基本概念与对数的实际意义(复习稿)

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在这一讲里我们主要解读对数的基本概念与对数的实际意义。进一步理解和明确什么是对数？对数有什么实际意义？下面我们通过举例来讨论和说明对数的基本概念和它的实际意义。

同学们看例题

例题:一个筑路队计划每天修路600m，如果每天都要比前一天多修20%，需要多少天可以修完3600m的筑路任务。

解:设需要ⅹ天可以完成

600(1+20%)(1+20%)

…(1+20%)=3600

由此得:

600(1+20%)^ⅹ=3600

即、1.2^ⅹ=6

通过这个方程式我们看到乘方的问题1.2²=1.44，我们所要讨论的问题与求幂的问题却是相反的。

继续看这个方程1.2^ⅹ=6

它的意义是，已知底数为1.2的幂是6，求指数ⅹ等于什么的问题。通俗的说，在等式a^n=b中，已知底数a和指数n，要求的是b，其实这是一个乘方的问题。所以我们要明确什么样的运算是属于乘方问题。

我们再看下面的等式

在等式a^n=b(a>0，a≠1)中，如果已知a和b求n，求指数n，这就是我们要解决的问题。数学家们规定将n叫做以a为底b的对数，记做:

㏒va^b，其中b叫做真数。

通过这个式子的记法，我们知道对数和指数是有一定的内在联系。为了更好的理解和掌握对数的基本概念，下面我们再复习与对数相关的重要指数律。

1、正整数指数幂10²=100

2、负整数指数幂10-²=1/10²

3、零指数幂12^0=1

4、正分数指数幂

10^2/3=3^√10²

5、负分数指数幂

10^-2/3=1/3^√10²

应该注意的是，指数的概念可以推广到无理数，如10√2、10-√2、10^-π等。这样就把指数扩充到了全体实数。对于指数幂这个知识点我们主要明确以下三个问题

1、任何正数的无理指数幂都是一个确定的正数，例如

10√2，等

2、反过来任何正的实数b都可以表示为一个正数a的幂即b=a(a>0)

3、当ⅹ为任何实数时指数式a^x(a>0)也适合下列指数律。

a^xa^x=a^x1+x2

(a^x1)^x2(a>0)

(ab)^x=a^xb^x(a>0，b>0)

这里应该注意的是底数必须是正数，否则如0^-1=1/0没意义，(-2)^1/2在实数范围内也没有意义，这是应该注意的问题。

通过以上的解读我们可以知道，求对数也是求指数值的一种逆运算，两者的区别是在b=a^x中的已知数和未知数的不同。

求指数式的值已知aⅹ求b

求对数值是已知a、b求x

同时我们也知道，开方也是求指数式值的一种逆运算，但它和求对数还是有区别的。在b=a^n中，已知bn求a叫做求b的n次方根。这里n是正整数，利用指数式的性质来研究对数的实际意义，这是本讲讨论的主要问题。

关于对数的实际意义，我们就解读到这里。因为在解读时所使用的参考资料可能与现行教材有不相同的地方，如果有争议，以现行教材为准。有错误的地方，希望审核老师与同学们批评指正。

作业与要求

认真阅读这个讲义稿，用自己的话对这次解读进行概括的总结。