点到直线距离公式推导: 向量法证明过程建议收藏

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

点到直线的距离公式可以通过几何分析和代数推导来得到。设直线L的方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x1, y1)。我们要找的是点P到直线L的距离d。

高中课本上的推导,是直接用代数的方法来推导,这里我们不用代数的方法,使用向量的内积方法来推导:

先复习下,什么是向量内积的概念:

设a,b为两个向量,则a.b=|a|.|b|cosα,α为向量a和向量b的夹角.也可以理解为,向量内积的概念是:a.b 表示 向量a在向量b上的投影

在二维平面中: 向量a(x1,y1), 向量b(x2,y2),则

a.b=x1.x2+y1.y2 =|a|.|b|cosα (α为向量a,b之间的夹角),

当α=π/2 时,则,向量a垂直于向量b,

根据向量内积的概念,我们就可以方便来进行点到直线距离公式求导了:

点到直线距离公式:向量推导

证明推导过程:

给定一条直线的方程Ax + By + C = 0，我们可以直接得到一个法向量(垂直于这条直线)n，其分量是(A, B),而直线的方向向量为(-B,A)。

(法向量的证明可以查看之前的文章: 直线的方向向量和法向量)

直线方程:方向向量和法向量的表示: 基础理解建议收藏给孩子看

法向量n=(A,B)

接下来，我们可以构造一个从点P到直线L上的任意一点的向量v。为了简化计算，我们可以选择直线L上离点P最近的点作为这个任意点，这个点就是点P到直线L的垂线段的终点，我们称之为点H。向量PH可以表示为从点P到点H的向量，即

向量PH= (xh – x1, yh – y1)

向量PH与法向量n同向,且平行,两个向量之间的夹角为0. 根据 向量内积公式:

PH.n=|PH|.|n|cos0 得到|PH|=PH.n/|n|

d=||PH||,所以得到如下: 因为点积可能为负,而距离必须为正

即: d=……(1)

PH.n=(xh-x1).A+(yh-y1).B (向量内积等于对应分向量的积和)

PH.n=xh.A+yh.B-x1.A-y1.B

又因为(xh,yh)在直线Ax+By+C=0上,代入H坐标得到

xh.A+yh.b+C=0, 所以PH.n=-C-Ax1-By1 ,

|n|= (法向量n(A,B)的模定义)

得到:|d|=

归纳总结:

1.向量的模不能代表距离

2.点积是有正负性的,求距离的时候必须加上绝对值