高中数学学习（24）——向量的数量积与坐标运算

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1，向量的夹角：

两个非零向量a与b，作向量OA=a，向量OB=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；

特别注意：向量夹角的取值范围为[0，π]。

也就是把两个向量移动到起点相同，这两个向量所形成的那个≤180°的角就是向量的夹角。

2，平面向量的数量积：

两非零向量a与b，我们把|a|*|b|*cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a*b，其中θ为这两个向量的夹角。

也就是我们把两个向量移动到起点相同，然后从其中一个向量的终点向另一个向量做垂线，其在另一个向量上的投影的长度与被垂直向量的长度的乘积，就是这两个向量的数量积。

也就是说，向量的数量积是一个数值，而不是一个向量。

另外特别注意，0向量与任何向量的数量积都为0。

3，平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j做基底，对于该平面内的任意一个向量a都可以转化为a=xi+yj的形式，则（x,y）叫做向量a的坐标，记作a=（x,y）。

如果是用一个小写字母表示的向量，则该向量就是从坐标原点指向这个坐标点的向量。

如果是用两个大写字母表示的向量，则该向量的坐标为后一个字母的坐标减去前一个字母的坐标，指向为从前一个字母指向后一个字母。

4，向量的坐标运算：

（1）向量的和：若a=（m，n），b=（i，j），则a+b=（m+i，n+j）。

向量的和的坐标运算，就是横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标。

（2）向量的差：若a=（m，n），b=（i，j），则a–b=（m-i，n-j）。

向量的差的坐标运算，就是横坐标减横坐标，纵坐标减纵坐标。

（3）向量的数乘：若a=（m，n），则pa=（pm，pn）。

向量的数乘的坐标运算，就是数分别与横纵坐标相乘。

（4）向量的数量积：若a=（m，n），b=（i，j），则a*b=mi+nj。

向量的数量积的坐标运算，就是横坐标乘横坐标加纵坐标乘纵坐标的和。

大家会发现，如果使用坐标运算，比几何方式运算要简单很多，不需要平移，不需要找角度，直接算数就可以了。

因此，如果能用坐标运算向量问题的话，我们优先选择坐标运算。

5，如何建立坐标系：

那么，什么样的题可以选择使用坐标运算呢？

想使用坐标运算，前提肯定是得能找出坐标值来，再前提那就是得能建出坐标系来。

那么，什么样的条件可以建出坐标系来呢？

这里给大家说几个常见的可建坐标系的条件。

（1） 利用图形中现有的垂直关系，借用垂直角建立坐标系；

（2） 利用图形本身的对称关系，特别是轴对称，对称轴即为一条坐标轴；

（3） 借助特殊角（30°，45°，60°），以该角的一边与其垂线建立平面直角坐标系；

（4） 以圆的圆心为坐标原点建立平面直角坐标系；

（5） 任意两向量的夹角为特殊角，则将这两个向量平移为共起点，按照（3）建立平面直角坐标系。

6，向量的平行与垂直：

向量既然又有大小又有方向，那他说白了就是个几何问题。

只要是几何问题，永远绕不开平行、垂直两种关系。

那么，向量如何证明平行与垂直呢？

（1）平行。

上一节我们说过，共线向量实际上指的就是两向量是平行关系，那么如何证明两向量共线呢？

只要两向量存在数乘的关系，他们就是共线的，也就是平行的，因为向量乘以一个非0实数是不会改变其双向的。

也就是说，对于向量a，b若存在实数m，使得b=ma，则向量a与b共线。

那么，用坐标的方式如何证明两向量平行呢，只要两向量横纵坐标所成比例一致，两向量就是平行的。

也就是说，若a=（m，n），b=（i，j），且m/i=n/j，则a∥b。

除此之外，如果两个向量的数量积与它们的模的乘积相等，也可以说明两个向量平行。

也就说所，对于向量a,b，若|a|*|b|=|a*b|，则向量a,b共线。

特别注意：向量相等或者共线只与长度和方向有关，与起点、终点位置无关；与零向量相等的向量只有零向量；零向量与任意向量平行。

（2）垂直。

向量垂直的证明就要从向量的数量积上找答案了。

让我们分析一下向量数量积的公式。

如果两个向量垂直，说明它们的夹角为90°，而cos90°=0，且在两个向量夹角取值范围内，只有90°的余弦值是等于0的。

因此，当两个向量的数量积等于0时，我们就可以说它们是垂直的。

即当a*b=0时，a⊥b。

7，两向量夹角的算法：

只要把向量的数量积公式进行一下变形，就可以得到两向量夹角的计算公式了：

也就是两向量的夹角等于两向量的乘积除以它们模的乘积。

这样，平面向量的相关基础我们就讲完了，后面我们还会讲到空间向量，它与平面向量相比，就是多了一个坐标方向，其他运算等全部一致。

平面向量在高考时占比不重，一般是以向量的形式提供条件，大家通过画图就可以迅速找出条件了。

下一节，我们讲复数，也是一个简单地小知识点，但是高考基本必考。

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