数据结构与算法笔记总结——基本概念

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目 录

1 数据结构的基本概念

1.1 数据元素与数据项

1.2 数据对象

1.3 数据结构

1.4 算法

1.5 时间复杂度

1.6 空间复杂度

1.7 时空复杂度

1 数据结构的基本概念

1.1 数据元素与数据项

什么是数据元素？什么是数据项？

        数据元素、数据项数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。

1.2 数据对象

        数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。

例如在图书管理系统中，数据库里图书馆的书籍名是一个集合，isbn号也是一个集合

1.3 数据结构

什么是数据结构？

在计算机中：程序=数据结构+算法

在数据对象中，数据元素可以组成不同的数据结构，例如有逻辑结构（线性关系，非线性关系），树状结构以及图等。

线性关系：各个元素之间是一种一对一的关系，比如图书馆中的书架的书，除了首尾两本书之外，其余的任意一本书的编号假设是N，都有且仅有一个直接前驱节点N-1，有且仅有一个直接后继节点N+1。这种关系就是典型的线性逻辑。

非线性关系：与上述线性关系的表述不同，如果各个元素之间不是严格一对一的关系，则被称为非线性关系，比如家族中的各个成员、不同城市间的交通道路等，对于它们中间的某个元素，都可能有不止一个元素与之关联。这种关系是典型的非线性逻辑。

不同的数据结构有不同的存储方式，最常见的存储方式有顺序存储以及链式存储，不同的存储方式对最终数据处理效率有很大影响。逻辑结构与存储形式无必然联系。

1.4 算法

算法分析是指算法在正确的情况下，对其优劣的分析。一个好的算法通常是指：

1. 算法对应的程序所耗时间少
2. 算法对应的程序所耗存储空间少
3. 算法结构性好、易读、易移植和调试

数据结构与算法的本质任务，是提高程序的时间空间效率，简单讲就是让程序的执行速度越快越好，所需内存空间越少越好。虽然在很多情况下，程序的时空特性是相互制约的，就像鱼和熊掌不可兼得，但我们可以根据程序实际解决问题的侧重点，去平衡时间和空间的对性能的消耗。

1.5 时间复杂度

时间复杂度一般指的是代码的语句执行总次数，称为语句频度。在程序中，时间复杂度因为计算机的参数不同，因此时间复杂度不考虑绝对时间。

例子1：

void counting(int n) { for(int i=0; i<n; i++) { printf("本行语句将会出现n次\n"); for(int j=0; j<n; j++) { printf("本行语句将会出现n*n次\n"); } } }

在上述代码中，程序执行的语句频度理论是：T(n)=n^2+n

但一般情况下，我们只关心多项式的最高次幂，于是上述代码的时间复杂度我们表示为：

T(n)=O(n^2)

例子2：

for(int i = 1; i <= n; i++) { int j = 1; while (j<=n) { j = j * 2; } }

外层循环的时间复杂度是 𝑂(𝑛)。

内层循环的时间复杂度则取决于n的值。由于内层循环中的j每次迭代都乘以2，所以它将达到或超过n的值的迭代次数是 log⁡2𝑛。

当我们说由于内层循环中的 j 每次迭代都乘以2，所以它将达到或超过 𝑛 的值的迭代次数是 log⁡2𝑛，这里的意思是，我们想要找到 𝑗 乘以2多少次后会等于或超过 𝑛。

所以语句频度是：T(n)=n* log2n

这意味着，该程序算法所需要的时间，与传进来的参数n的平方成正比。

不同算法的时间复杂度相差很大，如下图所示，随着所处理的问题规模的增大，不同时间复杂度的程序所需要的时间有天壤之别。

1.6 空间复杂度

空间复杂度是一段程序运行时所需的内存字节量。

下面举个例子来表示空间复杂度：

我们定义了一个array，它的空间复杂度为 S(n) = n;

而定义二维数组array，它的空间复杂度为S(n) = n²

1.7 时空复杂度

俗话说鱼和熊掌不可兼得，一段程序的性能指标，既要运行快速，又要节省内存，而通常这两者又是相互制约的，很难兼得。因此在实际解决问题时，会根据需要侧重一方，牺牲另一方。

则想要让算法的效率更快，时间更快，需要牺牲空间。