数据结构——图

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

图的基本介绍

引入

1) 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系

2) 树也只能有一个直接前驱也就是父节点

3) 当需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图

图的举例

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

图的常用概念

1) 顶点(vertex)

2) 边(edge)

3) 路径，与有向图、无向图相关。

4) 无向图(右图

5) 有向图

6) 带权图，也叫网，边带权值。

图的表示

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表（+数组）表示（邻接表）。

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1….n 个点。

上图中，0表示不直接连接，有时也用无穷大表示，1表示直接连通。

邻接表

1) 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成的空间损失.

2) 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。多个结点，用多条链表表示，再用数组管理这多个链表。

图的实现案例

创建图的要求

用代码实现下图结构。

创建图的思路

(1) 存储顶点 用String类型， 使用 ArrayList存储。

(2) 保存矩阵 int[][] edges，为邻接矩阵。

生成图的邻接矩阵的相关方法：

基本属性及初始化：

 private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点 private int[][] edges;//存储图对应的邻接矩阵 private int numOfEdges;//表示边的个数 //构造器 初始化工作 public Graph(int n) { //初始化邻接局矩阵 edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0;//初始化0 }

插入结点的方法：

 //插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } 

添加边：

 //添加边 / * @param v1 表示点的下标 即 第几个顶点 如：A-0;B-1;C-2 * @param v2 表示第二个顶点的下标 * @param weight 表示权值关系 连接 1 未连接 0 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; }

图的常用方法：包括 返回结点个数、得到边的数目、返回结点下标对应的数据、返回某两点之间的路径值、显示图对应的邻接矩阵。

 //----图的常用方法-------/ //方法：返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } //方法：得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } //方法：返回结点i(下标)对应的数据 如 0-->A;1-->B;2-->C public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } //方法：返回 v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } //显示图 ——显示邻接矩阵 public void showGraph() { //相当于遍历邻接矩阵 for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } }

测试，创建图对应的邻接矩阵：

 public static void main(String[] args) { //测试图的创建 int n = 5;//结点个数 String[] vertexs = {"A", "B", "C", "D", "E"}; //创建图对象 Graph graph = new Graph(n); //循环添加顶点 for (String vertex : vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } //添加边 // A-B A-C B-C B-D B-E graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); //显示 邻接矩阵 graph.showGraph(); }

创建结果

图的深度优先遍历（DFS）

图遍历介绍

图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历    (2)广度优先遍历

深度优先遍历基本思想

1) 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解： 每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

2) 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

3) 深度优先搜索是一个递归的过程

思路图解：

深度优先搜索的步骤

1) 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。

2) 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。

3) 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。

4) 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。

5) 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3

代码实现

main: //测试 深度优先遍历 graph.dfs();// ///遍历的相关方法/// //得到第一个邻接结点的下标 w public int getFirstNeighbor(int index) { for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) { if (edges[index][j] > 0) { return j;//说明下一个邻接点存在返回下标 } } return -1;//不存在，返回-1 } //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) { if (edges[v1][j] > 0) { return j;//存在 并返回对应下标 } } return -1; } //深度优先遍历方法 //i第一次就是0 public void dfs(boolean[] isVisited, int i) { //首先访问该结点，输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //将结点设置为已访问 isVisited[i] = true; //查找结点i 的第一个邻接结点 int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1) {//说明有 找到了 if (!isVisited[w]) { dfs(isVisited, w); } //如果w 结点 已经被访问，查找邻接点的下一个结点 w = getNextNeighbor(i, w); } } //对 dfs进行重载，遍历所有结点，斌进行dfs public void dfs() { //遍历所有结点，进行dfs for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { dfs(isVisited, i); } } }

代码结果

图的广度优先遍历（BFS）

广度优先搜索的基本思想

1) 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。

2) 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来 访问这些结点的邻接结点。

广度优先遍历算法步骤

1) 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。 2) 结点 v 入队列

3) 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。

4) 出队列，取得队头结点 u。

5) 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。

6) 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：

        6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。

        6.2 结点 w 入队列 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

代码实现

main: //测试，广度优先遍历 System.out.println("\n广度优先遍历"); graph.bfs(); ///广度优先遍历/// //对一个结点进行广度优先遍历 private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {//i初始结点 int u;//表示队列的头节点对应的下标 int w;//邻接结点的下标 //队列，记录结点访问顺序 LinkedList queue = new LinkedList(); //访问结点，即输出结点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //标记为已访问 isVisited[i] =true; //将结点加入队列 queue.addLast(i); while (! queue.isEmpty()) { //取出队列的头结点下标 u = (Integer) queue.removeFirst(); //得到第一个邻接结点的下标 w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) {//找到 if (!isVisited[w]) { System.out.print(getValueByIndex(w) + "->"); //标记已经访问 isVisited[w] = true; //入队列 queue.addLast(w); } //已经访问过了,以u 为起始点，找w 后面的下一个邻接结点 w = getNextNeighbor(u, w);//体现出广度优先 } } } //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索 public void bfs() { for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { bfs(isVisited, i); } } }

结果：

图的所有代码汇总

package com.study.graph; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.LinkedList; public class Graph { private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点 private int[][] edges;//存储图对应的邻接矩阵 private int numOfEdges;//表示边的个数 //定义boolean数组，记录某个结点是否被访问 private boolean[] isVisited; public static void main(String[] args) { //测试图的创建 int n = 5;//结点个数 String[] vertexs = {"A", "B", "C", "D", "E"}; //创建图对象 Graph graph = new Graph(n); //循环添加顶点 for (String vertex : vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } //添加边 // A-B A-C B-C B-D B-E graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); //显示 邻接矩阵 graph.showGraph(); //测试 深度优先遍历 // System.out.println("深度优先遍历"); // graph.dfs();// //测试，广度优先遍历 System.out.println("\n广度优先遍历"); graph.bfs(); } //构造器 初始化工作 public Graph(int n) { //初始化邻接局矩阵 edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0;//初始化0 isVisited = new boolean[n]; } //插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } //添加边 / * @param v1 表示点的下标 即 第几个顶点 如：A-0;B-1;C-2 * @param v2 表示第二个顶点的下标 * @param weight 表示权值关系 连接 1 未连接 0 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; } //----图的常用方法-------/ //方法：返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } //方法：得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } //方法：返回结点i(下标)对应的数据 如 0-->A;1-->B;2-->C public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } //方法：返回 v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } //显示图 ——显示邻接矩阵 public void showGraph() { //相当于遍历邻接矩阵 for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } ///遍历的相关方法/// //得到第一个邻接结点的下标 w public int getFirstNeighbor(int index) { for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) { if (edges[index][j] > 0) { return j;//说明下一个邻接点存在返回下标 } } return -1;//不存在，返回-1 } //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) { if (edges[v1][j] > 0) { return j;//存在 并返回对应下标 } } return -1; } //深度优先遍历方法 //i第一次就是0 public void dfs(boolean[] isVisited, int i) { //首先访问该结点，输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //将结点设置为已访问 isVisited[i] = true; //查找结点i 的第一个邻接结点 int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1) {//说明有 找到了 if (!isVisited[w]) {//还没有访问，就递归访问 dfs(isVisited, w); } //如果w 结点 已经被访问，查找邻接点的下一个结点 w = getNextNeighbor(i, w); } } //对 dfs进行重载，遍历所有结点，斌进行dfs public void dfs() { //遍历所有结点，进行dfs for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { dfs(isVisited, i); } } } ///广度优先遍历/// //对一个结点进行广度优先遍历 private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {//i初始结点 int u;//表示队列的头节点对应的下标 int w;//邻接结点的下标 //队列，记录结点访问顺序 LinkedList queue = new LinkedList(); //访问结点，即输出结点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //标记为已访问 isVisited[i] =true; //将结点加入队列 queue.addLast(i); while (! queue.isEmpty()) { //取出队列的头结点下标 u = (Integer) queue.removeFirst(); //得到第一个邻接结点的下标 w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) {//找到 if (!isVisited[w]) { System.out.print(getValueByIndex(w) + "->"); //标记已经访问 isVisited[w] = true; //入队列 queue.addLast(w); } //已经访问过了,以u 为起始点，找w 后面的下一个邻接结点 w = getNextNeighbor(u, w);//体现出广度优先 } } } //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索 public void bfs() { for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { bfs(isVisited, i); } } } } 

广度优先和深度优先的比较

通过两种遍历结果可以看到，两种算法结果不同。