高等数学零基础篇复习笔记

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预备章 零基础高等数学入门知识

第一节 集合、运算与关系

第二节 三角函数与反三角函数

三角函数的公式

反三角函数

第三节 常见不等式及数列

划重点

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数及函数的初等特性

特殊函数

反函数

函数的初等特性

①有界性

②奇偶性

        偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称

        奇函数与偶函数之积为奇函数，奇函数与奇函数之积为偶函数

③单调性

④周期性

第二节 极限

基本性质

极限存在的充要条件是左右极限存在且相等

极限的基本性质

定理一（唯一性）：无论是数列极限还是函数关于自变量各种趋向，若极限存在必唯一

定理二（有界性）：极限存在必有界，反之不成立

定理三（保号性）：

证明如下：

第三节 无穷小与无穷大

基本概念

无穷小的基本性质

1.有限个无穷小之和或差仍为无穷小

2.有界函数与无穷小之积仍为无穷小

3.常数与无穷小之积仍为无穷小

4.极限与无穷小的关系：

协助证明：

无穷小的等价性质

第四节 极限存在准则与重要极限

极限存在定理

夹逼定理

定理：

证明：

例题：

单调有界定理

例题：

两个重要极限

例题： 

第五节 连续与间断

连续

间断

闭区间上连续函数的性质

章节重点习题

题型一 不定型极限计算

题型二 利用夹逼定理求极限

题型三 无穷小的比较

题型四 间断点判断

第二章 导数与微分

第一节 导数与微分的基本概念与性质

基本概念

导数：

微分：

函数f(x)在点x处可导的充要条件为f(x)在点x可微

求导基本工具

求导基本公式：

导数的四则运算：

链式法则：

反函数的导数：

第二节 隐函数及参数方程确定的函数的导数

隐函数的导数

F(x,y)=0确定y是x的函数，求y对x的各阶导数，只要将y看成x的表达式即可。

参数方程确定的函数的导数

章节重点习题

题型一 用导数定义求导及判断可导性

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理与洛必达法则

费马定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒定理

常见麦克劳林公式：

补充例题：构造函数证明等式

洛必达法则

适用情况：零比零型、无穷比无穷型

说明：使用洛必达法则后没有极限，只能说明洛必达法则对该题不适用，不能说明极限不存在

基本原理：分子分母同时求导得到的极限等于原分子比分母的极限

第二节 导数的应用

求函数极值点的步骤

注明：首先要看定义域

极值判定定理第二充分条件

函数图像的凹凸性

凹凸性判别法：

判别法证明：

曲线的渐近线

弧微分与曲率

章节重点习题

题型一 中值定理及应用

题型二 不等式的证明

题型三 曲线的渐近线

第四章 不定积分

第一节 不定积分的基本概念与性质

第二节 不定积分的积分法

第一类换元积分

典型例题：

第二类换元积分

典型例题：

分部积分法

第三节 两类特殊函数的不定积分

有理函数的不定积分

多项式的除法：

三角函数有理式的不定积分

典型例题：

章节重点习题

题型一 函数与原函数问题

题型二 第一类换元积分法

题型三 第二类换元积分法

第五章 定积分及应用

第一节 定积分的基本概念与一般性质

积分中值定理的证明：

tips：

第二节 定积分基本定理与定积分的特殊性质

变积分限的函数

定积分的基本定理

定理一：

划重点：

定理二：

定积分的特殊性质

对称区间的定积分性质

三角函数的定积分性质

周期函数的定积分性质

第三节 反常积分

反常积分的定义

区间无限的反常积分

无界函数的反常积分

第四节 定积分的几何应用

章节重点习题

题型一 定积分的基本性质

题型二 定积分的常规计算

第六章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念与一阶微分方程

微分方程的基本概念

划重点：

一阶微分方程的种类及解法

可分离变量的微分方程

齐次微分方程

一阶齐次线性微分方程

一阶非齐次线性微分方程

第二节 可降阶的高阶微分方程

情况一：

情况二：

情况三：

第三节 高阶线性微分方程

基本概念

二阶线性微分方程的解的结构

二阶常系数线性微分方程的解

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

第七章 多元函数微分学

第一节 多元函数微分学的基本概念

偏导数

高阶偏导数

有界闭区域上二元连续函数的性质

第二节 全微分

全微分的定义

划重点：

二元函数连续、可偏导、可微之间的关系

第三节 多元函数求导法则

复合函数求导法则

隐函数（组）确定的函数求导法则

第四节 多元函数的极值

无条件极值

条件极值

章节重点习题

题型一 多元函数的基本概念与性质

题型二 显函数、复合函数及隐函数求偏导

题型三 多元函数的极值

第八章 二重积分

第一节 二重积分的概念与性质

二重积分的对称性

章节重点习题

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高等数学零基础篇复习到此结束，祝各位友友一战成硕~~