理解与应用差分数组：概念、原理与C++实战

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

前言

在学习算法的时候，常常需要写算法题，有时候会遇到使用区间动态增加这样的问题，使用差分就是一个很好的方法。如果有哪里写的不好请大家多多指教！！

差分数组（Difference Array）是一种巧妙的数据结构，常用于处理序列的各种动态修改问题，尤其是具有前后元素关联的操作。它的核心理念在于通过记录每个位置与其前一个位置之间的差异值，简化对原数组的频繁更新和查询操作，极大地提高了算法效率。本文将详细介绍差分数组的概念、原理，并结合C++代码实例演示其实战应用。

一、什么是差分数组？

差分数组原理
差分数组D[i]由原数组A[i]衍生而来，其中D[i] = A[i] – A[i-1]（通常约定D[0] = A[0]）。这样一来，原数组中任意位置i的值可以通过累加前面所有差分值来恢复：A[i] = D[0] + D[1] + … + D[i]。
优点：

• 减少更新操作的时间复杂度：对原数组的一个区间进行增减操作时，只需更改相应区间的差分值。
• 查询区间和或区间更新变得简便快捷。

差分数组的特性体现在区间修改操作上：当需要对原数组的一个连续子区间 [l, r] 增加一个常数值 inc 时，相应的差分数组 d 的变化规则是在索引 l 处增加 inc，在索引 r+1 处减少 inc（注意，这里假设差分数组的大小与原数组相同并包含额外的边界条件）。这种操作具有可叠加性，即多个修改指令可以连续应用而不影响最终结果。

举例来说，（原数组和差分数组下标都从1开始，不然会越界）假定有数组d=[1,2,3,4,5,6]，对d[3]到d[5]之间的所有数加上3，变为d=[1,2,6,7,8,6]，那么差分数组也就从[1,1,1,1,1,1]变成了[1,1,4,1,1,-2]。

二、差分数组的应用场景和代码示例

1.差分数组的应用场景

1. 在在线算法竞赛或实际工程中，处理区间加法、区间查询和单点更新等问题时，差分数组往往能发挥巨大作用。
2. 实现滑动窗口最大值、区间统计、动态维护序列统计信息等任务。

2.案例与代码

区间修改与查询： 假设有一个数组，我们需要支持两种操作：

1. 将某一段区间的元素都增加一个常数值；
2. 查询某一段区间的元素和。可以利用差分数组轻松实现。

代码实现：

#include <iostream> #include <vector> class DifferenceArray { 
      private: std::vector<int> diffArr; // 差分数组 std::vector<int> originalArr; // 原始数组（仅用于还原） void update(int l, int r, int val) { 
      // 区间修改 diffArr[l] += val; if (r + 1 < diffArr.size()) { 
      diffArr[r + 1] -= val; } } int getSum(int l, int r) const { 
      // 区间查询 int sum = 0; for (int i = l; i <= r; ++i) { 
      sum += diffArr[i]; } return sum + originalArr[0]; // 加上初始值 } void initFromOriginal(const std::vector<int>& arr) { 
      originalArr = arr; diffArr.resize(arr.size()); for (size_t i = 1; i < arr.size(); ++i) { 
      diffArr[i] = arr[i] - arr[i - 1]; } } public: DifferenceArray(const std::vector<int>& arr) { 
      initFromOriginal(arr); } void modifyRange(int l, int r, int val) { 
      update(l, r, val); } int queryRange(int l, int r) const { 
      return getSum(l, r); } }; int main() { 
      std::vector<int> arr = { 
     1, 2, 3, 4, 5}; DifferenceArray da(arr); da.modifyRange(1, 3, 10); // 将区间[1, 3]的元素增加10 std::cout << da.queryRange(0, 4) << std::endl; // 查询整个数组的和 return 0; } 

以上代码中，我们首先定义了一个DifferenceArray类，该类内部维护了差分数组diffArr和原始数组originalArr。update方法用于对区间[l, r]进行修改，只需要更新l和r+1处的差分值即可。getSum方法通过累加差分数组得到指定区间内的元素和。
案例推广（实际算法题中得巧用）：
空调（AcWing）

总结

使用差分数组的注意事项

总结
差分数组作为一种高效的数据结构，以其独特的思想和便捷的操作性，在处理一些与区间相关的动态问题时表现出色。理解和掌握差分数组，有助于我们在算法设计和编程实践中提高解决问题的效率。在实际应用中，适时结合差分数组与其他数据结构或算法，可以进一步拓宽问题解决思路，优化程序性能。