计算机算法中的数字表示法——定点数

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1.前言

前面一篇文章讲了计算机中的数字表示法：原码、补码和反码，这一篇文章开始进行定点数的讲解。

2.什么是定点数

定点数，从字面意思上理解就是小数点位置固定，如下图所示：

数字既包括整数，又包括小数，而小数的精度范围要比整数大得多，所以如果我们想在计算机中，既能表示整数，也能表示小数，关键就在于这个小数点如何表示？

于是人们想出一种方法，即约定计算机中小数点的位置，且这个位置固定不变，小数点前、后的数字，分别用二进制表示，然后组合起来就可以把这个数字在计算机中存储起来，这种表示方式叫做「定点」表示法，用这种方法表示的数字叫做「定点数」。

3.定点数如何去表示数字

定点数如果要表示整数或小数，分为以下三种情况：

对于纯整数和纯小数，小数点固定在最低位和最高位，只需要把整数部分、小数部分，分别按照十进制转二进制的规则，分别转换即可。下面以8bit为例：

纯整数定点数表示(从右到左，第N位二进制为$2^{N-1}$)：
$$88_{(D)}=00_{(B)}‬$$
纯小数定点数表示(从左到右，第N位二进制为$1/2^N$)：
$$0.625_{(D)}=0.500_{(D)}+0.125_{(D)}=0.00100000_{(B)}+‬0.0_{(B)}=0.0_{(B)}$$
可以看到表示小数的时候并能够全精度的表示一切数值，8bit纯小数定点数的精度只到$1/2^8$，超过精度外的数字需要进行舍取。

定点数表示整数+小数:

而对于整数 + 小数的情况，用定点表示时，需要约定小数点的位置，才能在计算机中表示。以 8 位为例，我们约定从高位开始，1位符号位，4位整数位，后3位表示小数部分。

对于数字 -1.5 用定点数表示就是这样：

表示步骤如下：

4.定点数表示法的局限性

前面我们约定从高位开始，1位符号位，4位整数位，后3位表示小数部分。这样做，整数部分的二进制最大值只能是 1111，即十进制的 15，加上符号只能表示-16~+15，小数部分的二进制最大只能表示 0.111，即十进制的 0.875。

如果我们想要表示更大范围的值，怎么办？

由此我们发现，不管如何约定小数点的位置，都会存在以下问题:

所以，定点表示法的主要问题是它不能有效地表示非常大或非常小的数。为了解决这个问题，人们发明了浮点表示法，其中小数点的位置是浮动的，可以根据需要移动以表示不同大小的数。下一篇文章来讲浮点数。