详解散度、旋度（二维、三维）

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散度、旋度的计算

笔记来源：Khancademy/MultiVariableDerivatives/curl-grant-video

旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质

1. 二维散度的计算

1.1 散度等于0

某坐标点附近的粒子，进入该区域的粒子数量等于离开该区域的粒子数量，所以它的散度 $= 0$

1.2 散度大于0

1.3 散度小于0

1.4 关于计算的具体解释

2. 三维散度的计算

3. 二维旋度的计算

旋度为正（逆时针为正）

计算（3,0）点的旋度为27，旋度大于0，表示该坐标点附近逆时针旋转

4. 三维旋度的计算

三维旋度计算

$curl\,\boldsymbol{v}(x,y,z)=\nabla×\boldsymbol{v}\\ ~\\ \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}× \begin{pmatrix} P(x,y,z)\\ Q(x,y,z)\\ R(x,y,z) \end{pmatrix}\\ ~\\ \boldsymbol{i}=\left[ \begin{array}{l} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right] \quad\boldsymbol{j}=\left[ \begin{array}{l} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right] \quad\boldsymbol{k}=\left[ \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right]\\ ~\\ det\begin{pmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P(x,y,z) & Q(x,y,z) & R(x,y,z) \end{pmatrix} ~\\ ~\\ \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ Q(x,y,z) & R(x,y,z) \end{pmatrix}\boldsymbol{i}- \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P(x,y,z) & R(x,y,z) \end{pmatrix}\boldsymbol{j}+ \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}\\ P(x,y,z) & Q(x,y,z) \end{pmatrix}\boldsymbol{k}\\ ~\\ (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\boldsymbol{i}-(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z})\boldsymbol{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\boldsymbol{k}\\ ~\\ (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\boldsymbol{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\boldsymbol{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\boldsymbol{k}\\ ~\\ curl\,\boldsymbol{v}(x,y,z)= \begin{pmatrix} \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\\ ~\\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\\ ~\\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \end{pmatrix}$

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