希尔伯特空间（既是向量空间、也是范数空间）

        在这篇文章中，我们将看看希尔伯特空间，这是一个专门的向量空间，具有超越标准向量空间的独特属性。我们将探讨它的定义特征、基本属性及其在各种数学学科中的深远影响。

        在进一步讨论之前，让我们重新审视向量的内积，了解它的定义、性质和意义。

二、什么是内积？

        通常表示为 〈 、 〉 或 〈 |〉，内积涉及将 bra 向量与 ket 向量配对，从而产生通常称为“braket”或 Dirac 符号。

狄拉克符号。

它是向量空间固有的一种独特的乘法形式。内积增强了向量空间的结构。内积测量两个向量之间的距离、长度和角度。

标准内积。图片来源：瓦利德·苏拉

三、内积的优点：

F ∈ {R，C}.设 X 是 F 向量空间

• 正定：仅当 x 是 0 向量时，向量 x 与自身的内积应满足 <x，x > ≥ 0，相等 <x，x> = 0
• 共轭对称性 ： <x，y> = <y，x > ， 仅当 （F（向量空间） ∈ R） 时 ， 而是 （F ∈ C） <x，y > = ˉ<y，x >
• 线性度 ： <x，y1 + y2> = <x，y1>+ <x，y2>，也<x，λy> = λ<x，y>

3.1 希尔伯特空间 ：

        希尔伯特空间是一种特殊类型的向量空间，它包含标准向量空间的所有属性，并具有几个附加特征。它的特点是是一个线性向量空间，并具有满足特定条件的内积运算

3.2 希尔伯特空间的优点：

1 — 共轭对称性：“对称内积”，即希尔伯特空间中两个元素的内积是相同内积的复共轭，顺序相反 <Ψ1，Ψ2> = ̄<Ψ2，Ψ1>

此属性可确保当向量的顺序颠倒时，希尔伯特空间中两个向量的内积保持不变，结果是原始内积的复共轭。

注意：复数的复共轭是实部相等和虚部大小相等但符号相反的数。例如，如果 z=a+bi，则 z 的复共轭（表示为 z*）等于 a−bi

2 — 相对于第二个向量的线性度：“线性内积”，此属性断言内积相对于第二个向量是线性的。如果我们取 <Ψ1，aΨ2+bΨ3> 的内积等于 ： a <Ψ1，Ψ2> + b <Ψ1，Ψ3>

3 — 非负的确定性：假设我们在 R3 中有一个向量 v=（1,2,3）。那么，v与自身的内积为：〈v，v〉=12+22+32=14。由于这个内积是正的，不等于零，所以v不是零向量，满足正的确定性性质。

4 — 完备性：考虑 R2 中由 Vn =（1/n，1/n） 定义的向量序列。该序列形成柯西序列，因为随着 n 的增加，连续项之间的距离趋近于零。这个序列的极限是零向量 （0， 0），它也在 R2 中，证明了完备性。

如果距离函数如此定义，则任何内积空间都是度量空间，有时也称为豪斯多夫预希尔伯特空间。[6]任何同时也是完全空间的预希尔伯特空间都是希尔伯特空间。[7]

H的完备性可以用H中序列的柯西标准的一种形式来表示：如果每个柯西序列都相对于该范数收敛到空间中的一个元素，则预希尔伯特空间H是完备的。完备性可以用以下等效条件来表征：

如果一系列向量

绝对收敛于

则级数在H中收敛，即部分和收敛于H的一个元素。[8]

作为一个完全赋范空间，希尔伯特空间根据定义也是Banach 空间。因此，它们是拓扑向量空间，其中子集的开放性和封闭性等拓扑概念有明确的定义。特别重要的是希尔伯特空间的闭线性子空间的概念，它通过限制引起的内积也是完全的（是完全度量空间中的闭集），因此本身就是一个希尔伯特空间。

5 — 正交性：设 u=（1,0） 和 v=（0,1） 是 R2 中的向量。那么，“u”和“v”的内积为：<u，v>=1⋅0+0⋅1=0。（由于内积为零，因此 u 和 v 彼此正交。

注意：内积是一种测量两个向量指向同一方向的方法。如果内积为零，则表示向量是垂直的或正交的。

6 — 有界性：有界性是指当算子变换向量时，生成的向量保持在算子本身设定的一定限制内。

四、希尔伯特空间的应用

• 量子力学：描述量子系统的状态，例如粒子的波动函数。
• 信号处理：在平方可积函数空间中分析信号并应用傅里叶分析和小波变换等技术。
• 量子计算：在复杂的希尔伯特空间中将量子比特表示为向量，并通过酉变换操纵它们。
• 图像处理：利用希尔伯特空间执行图像去噪、压缩和特征提取等任务。
• 控制理论：对动态系统进行建模，并使用希尔伯特空间设计控制器来分析系统的稳定性和可控性。

        我们已经到了文章的结尾，我们在探索希尔伯特空间的同时探索了向量空间及其性质以及它们的区别，在下一集中见，探索与量子机器学习相关的其他概念