数学分析：集合的基本运算

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数学分析：集合的基本运算

集合有 并、交、差、补 四种基本运算。

集合的并

定义 1（集合的并）：设 $A,B$ 为两个集合，则由集合 $A$ 和集合 $B$ 中的所有元素汇集而成的集合称为集合 $A$ 和集合 $B$ 的 并。记作 $A\cup B$。即：
A ∪ B = { x   ∣ x ∈ A  或  x ∈ B } 。 A \cup B=\{x ~ | x \in A ~ \text{或} ~ x \in B\}。 A∪B={
x ∣x∈A 或 x∈B}。

推广：设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 为 $n$ 个集合，则 $n$ 个集合的并集可表示为：
A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n = { x   ∣   x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ ⋯ ∨ x ∈ A n } ， A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x ~ | ~ x \in A_1 \lor x \in A_2 \lor \cdots \lor x \in A_n\} \text{，} A1​∪A2​∪⋯∪An​={
x ∣ x∈A1​∨x∈A2​∨⋯∨x∈An​}，
可简单地记作：$\underset{i=1}{\stackrel{n}{\cup }}{A}_i$，即
$$\underset{i=1}{\stackrel{n}{\cup }}{A}_i=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\text{。}$$

集合的交

定义 2（集合的交）：设 $A,B$ 为两个集合，则由集合 $A$ 和集合 $B$ 中的公共元素汇集而成的集合称为集合 $A$ 和集合 $B$ 的 交。记作 $A\cap B$。即：
A ∩ B = { x   ∣   x ∈ A  且  x ∈ B } 。 A \cap B = \{x ~ | ~ x \in A ~ \text{且} ~ x \in B\}。 A∩B={
x ∣ x∈A 且 x∈B}。

推广：设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 为 $n$ 个集合，则 $n$ 个集合的并集可表示为：
A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n = { x   ∣   x ∈ A 1 ∧ x ∈ A 2 ∧ ⋯ ∧ x ∈ A n } ， A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x ~ | ~ x \in A_1 \land x \in A_2 \land \cdots \land x \in A_n\} \text{，} A1​∪A2​∪⋯∪An​={
x ∣ x∈A1​∧x∈A2​∧⋯∧x∈An​}，
可简单地记作：$\underset{i=1}{\stackrel{n}{\cap }}{A}_i$，即
$$\underset{i=1}{\stackrel{n}{\cap }}{A}_i=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\text{。}$$

集合的差

定义 3（集合的差）：设 $A,B$ 为两个集合，则由属于集合 $A$ 但不属于集合 $B$ 的所有元素汇集的集合称为集合 $A$ 与集合 $B$ 的 差。记作 $A\setminus B$ 或 $A-B$。即：
A ∖ B = { x   ∣   x ∈ A  且  x ∉ B } 。 A \setminus B = \{x ~ | ~ x \in A ~ \text{且} ~ x \notin B\}。 A∖B={
x ∣ x∈A 且 x∈/B}。

集合的补

定义4 （集合的补）：设 $A,X$ 为两个集合，且集合 $A$ 是集合 $X$ 的子集，则集合 $X$ 与集合 $A$ 的差集称为集合 $A$ 关于集合 $X$ 的 补。记作 $A_X^C=X\setminus A$，或者简记为 $A^C=X\setminus A$。即
A X C = { x   ∣   x ∈ X  且  x ∉ A } 。 A_{X}^{C} = \{x ~ | ~ x \in X ~ \text{且} ~ x \notin A\}。 AXC​={
x ∣ x∈X 且 x∈/A}。

显然集合的 差 与 补 满足：
$$A\setminus B=A\cap B^C。$$

集合的运算律

定理 1：设 $A,B,C,X$ 均为集合，且 $A,B,C$ 是集合 $X$ 的子集，则：

$1.\text{交换律}$：

$$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A\text{；}$$

$2.\text{结合律}$：

$$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\text{；}$$

$3.\text{分配律}$：

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\text{；}$$

$4.\text{对偶律}(DeMorgan\text{公式})$：

$$(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C,(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C。$$

参考文献